215 11 .1 Faktorielle (FakultÄt ) und Binomialkoeff i z ienten Aufgaben 11 . 26 Berechne, wie viele Wörter der Länge 10 man aus den Buchstaben u und v bilden kann, wenn v a) nie, b) genau zweimal, c) genau fünfmal, d) genau siebenmal, e) genau zehnmal vorkommen soll! 11 . 27 Bei einer Prüfung sind 10 Fragen zu beantworten. Das Prüfungsergebnis ist positiv, wenn mindestens 8 Fragen richtig beantwortet werden. Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, a) genau 8, b) genau 9, c) alle Fragen richtig zu beantworten! Hinweis : Bilde Wörter aus den Buchstaben r (richtig) und f (falsch)! 11 . 28 In einem Raum sind 9 Lampen. Berechne, auf wie viele Arten der Raum beleuchtet werden kann, wenn genau a) 3, b) 5, c) 7 Lampen brennen sollen! Hinweis : Gehe von einer festen Reihenfolge der Lampen aus und bilde Wörter aus den Buchstaben e (ein) und a (aus)! 11 . 29 Stelle den grün hervorgehobenen Weg von A nach B als Wort mit hilfe der Buchstaben R (nach rechts) und O (nach oben) dar! Berechne weiters, wie viele Wege es von A nach B gibt! a) b) c) 11 . 30 Berechne, auf wie viele Arten man von einer Seite aus a) sechs verschiedenfarbige, b) drei gleichartige rote und drei gleichartige blaue holzperlen der Reihe nach auf eine Schnur schieben kann! eigenschaften der Binomialkoeffizienten satz (1) 2 n 0 3= 2 n n 3= 1 (n * N*) (2) 2 n k 3= 2 n n – k 3 (n * N* und k * N mit 0 ª k ª n) (3) 2 n k 3= 2 n – 1 k – 1 3+ 2 n – 1 k 3 (n, k * N* mit n º 2 und 1 ª k ª n – 1) Beweis : Wir begründen diese Eigenschaften mit Wörtern aus den Buchstaben a und b. (1) Es gibt genau ein Wort der Länge n, in dem a genau 0-mal vorkommt, nämlich bb…b. Es gibt genau ein Wort der Länge n, in dem a genau n-mal vorkommt, nämlich aa…a. (2) Vertauscht man in allen Wörtern der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, die Buchstaben a und b, erhält man alle Wörter der Länge n, in denen a genau (n – k)-mal vorkommt. (3) Alle 2 n k 3Wörter der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, erhält man, indem man an alle 2 n – 1 k – 1 3Wörter der Länge n – 1, in denen a genau (k – 1)-mal vorkommt, ein a anhängt und an alle 2 n – 1 k 3Wörter der Länge n – 1, in denen a genau k-mal vorkommt, ein b anhängt. R A B A B A B R Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv
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