214 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen 11 .19 Bei einem Test werden aus einer Liste von 30 Fragen fünf Fragen ausgewählt. Berechne, auf wie viele Arten dies möglich ist! 11 . 20 Auf einer Geburtstagsparty sind a) 20 Personen, b) 30 Personen. Jeder schüttelt jedem die hand. Berechne, wie oft die hände geschüttelt werden! 11 . 21 Fußball-Cup-Spiele werden manchmal durch Elfmeterschießen entschieden. Jeder der beiden Trainer muss dabei 5 seiner 11 Spieler auf dem Platz als Schützen benennen. Berechne, wie viele Möglichkeiten jeder Trainer hat, diese Auswahl zu treffen! 11 . 22 Gib eine Formel für die Anzahl der Verbindungsgeraden zwischen n Punkten an, wenn man voraussetzt, dass nie mehr als zwei Punkte auf derselben Geraden liegen! 11 . 23 Gib eine Formel für die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks an! Kontrolliere für n = 4 und n = 5! Beachte : Die Seiten zählen nicht zu den Diagonalen. 11 . 24 Beim Canasta-Spiel bekommt jeder Spieler ein „Blatt“ aus 12 Karten von insgesamt 110 Karten. Berechne, wie viele verschiedene Blätter ein Spieler bekommen kann! sinnlose „Wörter“ Wir bilden aus den Buchstaben a und b sinnlose „Wörter“, zum Beispiel aaabba oder abbabba. Die Anzahl der aufeinander folgenden Buchstaben in einem solchen Wort bezeichnen wir als „Länge des Wortes“. Zum Beispiel ist aabab ein Wort der Länge 5. 11 . 25 Berechne, wie viele Wörter der Länge 4 man aus den Buchstaben a und b bilden kann, in denen a genau zweimal vorkommt! lösung: Wenn wir die Wörter lexikografisch anschreiben, sehen wir, dass es sechs solche Wörter gibt: aabb abab abba baab baba bbaa satz Die Anzahl der aus den Buchstaben a und b gebildeten Wörter der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, ist gleich 2 n k 3. Beweis : Wir nummerieren die Buchstaben eines solchen Wortes mit 1, 2, 3, …, n durch. Jedem Buchstaben a des Wortes entspricht dann eine bestimmte Nummer. Den k Buchstaben a des Wortes entspricht eine k-elementige Teilmenge der Menge M = {1, 2, 3, …, n} und umgekehrt. Da es 2 n k 3k-elementige Teilmengen von M gibt, gibt es auch 2 n k 3solche Wörter. zusammenfassung zwei Bedeutungen von ( n k ) 2 n k 3ist gleich der Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. 2 n k 3ist gleich der Anzahl der aus zwei Buchstaben a und b gebildeten Wörter der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt. R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
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