213 11 .1 Faktorielle (FakultÄt ) und Binomialkoeff i z ienten Zur Abkürzung führt man folgende Schreibweise ein: Definition (Binomialkoeffizienten) Für n, k * N* mit k ª n setzt man: 2 n k 3 = n · (n – 1) · (n – 2) ·…· (n – k + 1) _____ k · (k – 1) · (k – 2) ·…· 1 = n! __ k!(n – k)! [sprich: n über k] Ergänzend setzt man: 2 n 0 3= 1 Die Zahlen 2 n k 3nennt man Binomialkoeffizienten. Damit kann das Ergebnis aus Aufgabe 11.13 folgendermaßen formuliert werden: satz 2 n k 3ist gleich der Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Beispiel : Die Anzahl der 3-elementigen Teilmengen einer 9-elementigen Menge beträgt: 2 9 3 3 = 9 · 8 · 7 __ 3 · 2 · 1= 84 Bemerkung: Man setzt 2 n 0 3= 1, da eine n-elementige Menge genau eine 0-elementige Teilmenge besitzt, nämlich die leere Menge. Binomialkoeffizienten 2 n k 3lassen sich mit Technologieeinsatz berechnen. Für spezielle Werte kann man sie auch der Tabelle auf Seite 264 entnehmen. Bei einer Berechnung ohne Technologie geht man zweckmäßigerweise so vor: Zuerst schreibt man in den Nenner das Produkt k · (k – 1) · (k – 2) ·…· 1. Dann schreibt man in den Zähler das Produkt n · (n – 1) · (n – 2) ·… mit gleich vielen Faktoren wie im Nenner. Da Binomialkoeffizienten stets ganzzahlig sind, lässt sich der erhaltene Bruch immer vollständig kürzen. Aufgaben 11 .14 Berechne mit hilfe der Formel: a) 2 6 4 3 b) 2 8 3 3 c) 2 5 9 3 d) 2 1 6 0 3 e) 2 1 7 2 3 f) 2 15 14 3 11 .15 Kreuze die richtigen Aussagen an! 2 n 0 3= 0 2 n 1 3= n 2 n n 3= 1 2 n 2 3 = n · (n – 1) __ 2 2 n 2 3= 2 n n – 2 3 11 .16 Berechne, wie viele 5-elementige Teilmengen a) eine 8-elementige Menge, b) eine 20-elementige Menge, c) eine 50-elementige Menge enthält! 11 .17 Berechne, wie viele vierelementige Teilmengen die Menge {a, b, c, d, e, f} besitzt! Schreibe alle vierelementigen Teilmengen in lexikografischer Ordnung an! 11 .18 Aus fünf Personen soll a) ein Zweierkomitee, b) ein Dreierkomitee ausgewählt werden. Berechne, auf wie viele Arten dies möglich ist! kompakt seite 228 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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