212 11 Die Binomialvertei lung und wei tere vertei lungen Definition (Faktorielle bzw. Fakultät) Für n * N* setzt man: n! = n · (n – 1) · (n – 2) ·…· 2 · 1 [sprich: n Fakultät oder n-Faktorielle] Ergänzend setzt man: 0! = 1 Damit kann das Ergebnis von Aufgabe 11.07 4) allgemein so formuliert werden: satz: n unterscheidbare Objekte können auf n! Arten angeordnet werden. Aufgaben 11 . 08 Im Turnunterricht sollen acht Jugendliche hintereinander aufgestellt werden. Berechne, auf wie viele Arten dies möglich ist! 11 . 09 An einem Skirennen nehmen 10 Personen teil. Berechne, wie viele Rangfolgen sich ergeben können, wenn man voraussetzt, dass kein „ex aequo“ eintritt! 11 .10 Berechne, wie viele Möglichkeiten ein Teamchef hat, die Reihenfolge der fünf für ein Elfmeterschießen ausgewählten Schützen zu bestimmen! 11 .11 Berechne 2!, 5!, 10!, 15! und 20! und überprüfe damit die folgende Aussage: Die Zahl n! nimmt mit wachsendem n sehr rasch zu. Binomialkoeffizienten 11 .12 Berechne, wie viele zweielementige Teilmengen die vierelementige Menge {a, b, c, d} enthält! 1 . lösungsmögl ichkei t : Es gibt sechs zweielementige Teilmengen der Menge a, b, c, d, die wir lexikografisch geordnet angeben: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} Beachte dabei, dass es nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Elemente einer Menge angeschrieben werden. Es gilt beispielsweise {a, b} = {b, a}. 2 . lösungsmögl ichkei t : Wir wählen die beiden Elemente für eine zweielementige Teilmenge der Reihe nach aus. Für das erste Element gibt es 4 Möglichkeiten, für das zweite Element nur mehr 3 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es nach der Produktregel also 4 · 3 = 12 Möglichkeiten zwei Elemente auszuwählen. Dabei liefern jedoch jene Auswahlen, die sich nur in der Reihenfolge der ausgewählten Elemente unterscheiden, dieselbe Teilmenge (zum Beispiel ab und ba). Die Anzahl aller zweielementigen Teilmengen beträgt somit: 12 _ 2 = 6 11 .13 Ermittle, wie viele k-elementige Teilmengen eine n-elementige Menge enthält! lösung: Wir wählen die Elemente für eine k-elementige Teilmenge der Reihe nach aus. Für das erste Element gibt es n Möglichkeiten, für das zweite Element nur mehr n – 1 Möglichkeiten, für das dritte Element nur mehr n – 2 Möglichkeiten, … , für das k-te Element nur mehr n – (k – 1) = n – k + 1 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es nach der Produktregel also n · (n – 1) · (n – 2) ·…· (n – k + 1) Möglichkeiten, k Elemente auszuwählen. Dabei liefern jedoch die k! Auswahlen, die sich nur in der Reihenfolge der ausgewählten Elemente unterscheiden, dieselbe k-elementige Teilmenge. Die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen beträgt somit: n · (n – 1) · (n – 2) ·…· (n – k + 1) _____ k! = n · (n – 1) · (n – 2) ·…· (n – k + 1) _____ k · (k – 1) · (k – 2) ·…· 1 R R Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
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