21 2 .1 Di FFerenzenQuot ient und Di FFerent ialQuot ient 2 .12 Schreibe den Differenzenquotienten der Funktion f im angegebenen Intervall an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = x2, [a; a + h] b) f(t) = 1 _ t, [t0 ; t1 ] c) f(y) = y _ y + 1, [y1 ; y2 ] 2 .13 Wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird, geht vom Aufprallpunkt eine kreisförmige Welle aus. Die Wellenfront ist dabei ein Kreis mit wachsendem Radius r. Es sei A(r) der Flächeninhalt eines solchen Kreises (r in Meter, A(r) in Quadratmeter). 1) Gib eine Formel für die Zunahme des Flächeninhalts im Radiusintervall [r; z] an und berechne mit dieser Formel die Zunahme des Flächeninhalts in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 2) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts im Radiusintervall [r; z] an und berechne mit dieser Formel die mittlere Änderungsrate des Flächeninhalts in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 3) Gib eine Formel für die Änderungsrate A’(r) des Flächeninhalts beim Radius r an und berechne mit dieser Formel die Änderungsrate des Flächeninhalts bei den Radien 1 und 3! Bei welchem dieser beiden Radien ändert sich der Flächeninhalt stärker? 2 .14 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat den Oberflächeninhalt O(r) = 4 πr2 (r in Dezimeter, O in dm2). Der Ballon wird aufgeblasen. 1) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts im Radiusintervall [r; z] an und berechne mit dieser Formel die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts in den Radiusintervallen [10; 20] und [20; 30]! In welchem dieser beiden Intervalle ist die mittlere Änderungsrate des Oberflächeninhalts größer? 2) Gib eine Formel für die Änderungsrate O’(r) beim Radius r an und berechne O’(1) und O’(3)! Bei welchem dieser beiden Radien ändert sich der Oberflächeninhalt stärker? 3) Ändert sich O’(r) mit wachsendem Radius linear, quadratisch oder keines von beidem? 2 .15 Fülle die Tabelle fertig aus! x f(x) f(z) – f(x) __ z – x lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x zurückgelegter Weg (in km) verbrauchte Benzinmenge nach x km (in ®) mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [x; z] (in km/h) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x (in km/h) Zeit (in h) durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit des Flächeninhalts einer Bakterienkultur im Zeitintervall [x; z] (in mm 2/ h) Meereshöhe (in m) Luftdruck in der Meereshöhe x (in hPa) Wassertiefe eines Kanals bei Kanalkilometer x (in m) Änderungsrate der Wassertiefe bei Kanal- kilometer x (in m/km) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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