209 Kompetenzcheck 10 . 45 ein Würfelspiel Anja und Britta vereinbaren folgendes Spiel: Jede der beiden würfelt mit einem gewöhnlichen Würfel. Es gelten folgende Spielregeln: (1) Würfelt Anja eine kleinere Augenzahl als Britta, dann zahlt Anja an Britta einen Euro. (2) W ürfelt Anja eine größere Augenzahl als Britta, dann zahlt Britta an Anja so viel Euro, wie der Unterschied zwischen den Augenzahlen ausmacht. (3) Würfeln Anja und Britta die gleiche Augenzahl, zahlen sie einander nichts. Die Zufallsvariable G gibt Anjas Gewinn bei einem Spiel an. Einen Verlust fassen wir als negativen Gewinn auf. a) Ermittle die Werte von G in Abhängigkeit von den gewürfelten Augenzahlen und trage diese Werte in die folgende Tabelle ein! Augenzahl bei Brittas Wurf 1 2 3 4 5 6 Augenzahl bei Anjas Wurf 1 2 3 4 5 6 Begründe, dass die folgende Tabelle korrekt ausgefüllt wurde! k ‒1 0 1 2 3 4 5 P(G = k) 15 _ 36 6 _ 36 5 _ 36 4 _ 36 3 _ 36 2 _ 36 1 _ 36 b) Berechne den Erwartungswert E(G) und die Varianz V(G)! Wie stark bei einem konkreten Spiel der Gewinn G vom Erwartungswert E(G) abweicht, kann man zwar nicht genau angeben, doch kann man darüber eine Wahrscheinlichkeitsaussage machen. Der russische Mathematiker P. L. Tschebyscheff (1821 –1894) hat bewiesen, dass für eine diskrete Zufallsvariable X und jedes c * ℝ +gilt: P( †X – E(X)† º c) ª V(X) _ c 2 Zeige mit dieser Formel: Bei einem konkreten Spiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anjas Gewinn G vom Erwartungswert E(G) um mindestens 2 abweicht, kleiner als 0,8. c) Jeder Gewinn von Anja ist ein gleich großer Verlust für Britta und umgekehrt. Ermittle aufgrund dieser Tatsache ohne Rechnung, wie hoch der Erwartungswert von Brittas Gewinn ist, und begründe damit, dass das Spiel nicht fair ist! Berechne, auf welchen Wert man den Eurobetrag in Spielregel (1) ändern müsste, damit das Spiel fair ist! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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