203 10 . 3 erwartungswert, varianz und standardaBweichung einer zuFallsvariaBlen varianz und standardabweichung einer zufallsvariablen Wir betrachten eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k , die mit den absoluten Häufigkeiten H 1, H 2, …, H k bzw. den relativen Häufigkeiten h 1, h 2, …, h keintreten. Bei n-maliger Durchführung des Zufallsversuchs lautet die empirische Varianz der erhaltenen Werte: s 2 = (a 1– _ x) 2· H 1 + (a 2– _ x) 2· H 2 + … + (a k– _ x) · H k _______ n = (a 1– _ x)2 · H 1 _ n + (a 2– _ x) 2 · H 2 _ n + … + (a k– _ x) · H k _ n = = (a 1– _ x)2 · h 1 + (a 2– _ x) 2· h 2 + … + (a k– _ x) · h k Mit zunehmendem n nähert sich der Mittelwert _ xder erhaltenen Werte dem Erwartungswert μ der Zufallsvariablen X und die relativen Häufigkeiten h n (a i ) nähern sich den Wahrscheinlichkeiten p i= P(a i ) : s2 = (a 1 – _ x)2 · h n (a1) + (a2 – _ x)2 · h n (a2) + … + (ak – _ x)2 · h n (ak) σ 2 = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a2 – μ) 2 · p 2 + … + (ak – μ) 2 · p k Die Zahl σ 2, der sich die empirische Varianz der erhaltenen Werte dabei nähert, wird als Varianz der Zufallsvariablen X bezeichnet. Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a1 , a2 , …, ak , die mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , …, pk angenommen werden. Dann nennt man σ 2 = v(X) = (a 1– μ ) 2· p 1+ (a 2– μ ) 2· p 2 + … + (a k– μ ) 2· p k die varianz von X. Die Zahl σ = 9___ v(X)heißt standardabweichung von X. Nach den obigen Überlegungen gilt: Je öfter der Zufallsversuch wiederholt wird, desto mehr nähert sich die empirische Varianz der erhaltenen Werte von X der Varianz von X. Wir können also sagen: Die Varianz (Standardabweichung) einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich der empirischen Varianz (empirischen Standardabweichung) der erhaltenen Variablenwerte bei sehr häufiger Wiederholung des Zufallsversuchs. Zur Berechnung der Varianz einer Zufallsvariablen ohne Technologieeinsatz eignet sich die folgende Formel besser: satz (verschiebungssatz für die varianz einer zufallsvariablen) σ 2= a 1 2· p 1+ a 2 2· p 2 + … + a k 2· p k– μ 2 Beweis : σ 2= (a 1– μ) 2 · p 1+ (a 2– μ) 2 · p 2 + … + (a k– μ) 2 · p k= = 2 a 1 2– 2a 1 μ + μ 2 3· p 1+ 2 a 2 2– 2a 2 μ + μ 2 3· p 2+ … + 2 a k 2– 2a k μ + μ 2 3· p k= = a 1 2· p 1+ a 2 2· p 2 + … + a k 2· p k– 2 μ · (a 1p 1+ a 2p 2 + … + a kp k ) + μ 2· (p 1+ p 2 + … + p k ) = 1222222222222223222222222222245 12222222222322222222225 μ 1 = a 1 2· p 1+ a 2 2· p 2 + … + a k 2· p k – 2 μ 2+ μ 2= a 1 2· p 1+ a 2 2· p 2 + … + a k 2· p k– μ 2 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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