202 10 Wahrscheinl ichkei ts vertei lungen BeisPiel 1 : Zufallsversuch: Wurf eines Würfels. A ist die geworfene Augenzahl. Da die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 1 _ 6ist, erhält man: E(A) = 1 · 1 _ 6 + 2 · 1 _ 6 + 3 · 1 _ 6 + 4 · 1 _ 6 + 5 · 1 _ 6 + 6 · 1 _ 6 = 3,5 Wenn man einen Würfel sehr oft wirft, beträgt der Mittelwert der erhaltenen Augenzahlen ca. 3,5. BeisPiel 2 : Zufallsversuch: Wurf zweier Würfel. S ist die Summe der geworfenen Augenzahlen. Aufgrund der Wahrscheinlichkeitstabelle auf Seite 196 erhält man: E(S) = 2 · 1 _ 36 + 3 · 2 _ 36 + … + 7 · 6 _ 36 + … + 11 · 2 _ 36 + 12 · 1 _ 36 = 7 Wenn man zwei Würfel sehr oft wirft, beträgt der Mittelwert der erhaltenen Augensummen ca. 7. BeisPiel 3 : Zufallsversuch: Dreimaliger Münzwurf. X ist die erhaltene Anzahl von „Kopf“. Aufgrund der Wahrscheinlichkeitstabelle auf Seite 196 erhält man: E(X) = 0 · 1 _ 8 + 1 · 3 _ 8 + 2 · 3 _ 8 + 3 · 1 _ 8= 1,5 Wenn man einen dreimaligen Münzwurf sehr oft durchführt, beträgt der Mittelwert der erhaltenen Anzahlen von „Kopf“ ca. 1,5. AuFgaBen 10 .17 Zufallsversuch: Das nebenstehend abgebildete Glücksrad wird einmal gedreht. Bleibt der Zeiger nach dem Drehen in einem Sektor stehen, wird der am jeweiligen Sektorrand angegebene Betrag A (in €) ausbezahlt. 1) Berechne den Erwartungswert E(A) der Auszahlung! 2) Interpretiere E(A) im Kontext! 10 .18 (Fortsetzung von 10.17) Man muss 2€ Einsatz zahlen, um das Glücksrad einmal drehen zu dürfen. Berechne den Erwartungswert E(G) des Gewinns (= Auszahlung – Einzahlung)! Untersuche, ob gilt: E(G) = E(A) – Einsatz. 10 .19 Zufallsversuch: Ein Würfel wird zweimal geworfen. X ist die erste und y die zweite geworfene Augenzahl. Berechne den Erwartungswert der folgenden Zufallsvariablen: a) X · y b) X – y c) †X – y† d) Maximum von X, y 10 . 20 Bei einem Glücksspielautomaten muss man 5 Jetons einsetzen. Nach Betätigung wirft der Automat 2 bis 10 Jetons aus. Bei 40 Spielen wurde jeweils die Anzahl der ausgeworfenen Jetons notiert: 2, 2, 7, 2, 3, 5, 10, 9, 6, 3, 2, 2, 3, 4, 4, 2, 10, 2, 4, 3, 3, 7, 5, 2, 4, 4, 2, 8, 6, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 4, 3, 2, 4, 3 Gib näherungsweise den zu erwartenden Gewinn (= Ausgabe – Einsatz) bei einem Spiel an! 10 . 21 Ein Spiel heißt „fair“, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich 0 ist (dh. wenn man im Mittel weder Geld erhält noch Geld verliert). Angenommen, man gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit p und verliert mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p. Berechne, in welchem Verhältnis der Einsatz e zur Auszahlung a stehen muss, damit das Spiel fair ist! 10 . 22 Eine Urne enthält 3 schwarze und 2 weiße Kugeln. Es wird so oft ohne Zurücklegen gezogen, bis man beide weißen Kugeln erhält. X ist die Anzahl der nötigen Ziehungen. Berechne E(X)! Ó lernapplet 9v9y94 R 1 2 1 6 1 4 1 12 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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