201 10 . 3 erwartungswert, varianz und standardaBweichung einer zuFallsvariaBlen 10 . 3 erwartungswert, varianz und standardaBweichung einer zuFallsvariaBlen erwartungswert einer zufallsvariablen 10 .16 Das nebenstehende Glücksrad ist in vier Sektoren unterteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger in einem bestimmten Sektor stehenbleibt, entspricht dem relativen Anteil der betreffenden Sektorfläche am gesamten Kreisflächeninhalt und ist in jedem Sektor eingetragen. Bleibt der Zeiger in einem bestimmten Sektor stehen, gewinnt man so viele Euro, wie am Außenrand des Sektors angegeben sind. Jemand dreht das Glücksrad sehr oft (etwa 1 000-mal). Wie groß wird sein mittlerer Gewinn pro Drehung sein? lösung: Die Zufallsvariable „Gewinn“ kann die Werte 0, 2, 5, 10 annehmen. Wird das Glücksrad n-mal gedreht, dann wird jeder dieser Werte mit einer bestimmten relativen Häufigkeit auftreten. Wir bezeichnen diese relativen Häufigkeiten mit h n (0), h n (2), h n (5) und h n (10). Der Mittelwert _ xder Gewinne aller Spiele ist dann: _ x= 0 · h n (0) + 2 · h n (2) + 5 · h n (5) + 10 · h n (10) Da n groß ist, werden die erhaltenen relativen Häufigkeiten näherungsweise mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen: h n (0) ≈ 0,4, h n (2) ≈ 0,3, h n (5) ≈ 0,2, h n (10) ≈ 0,1 Daraus folgt: _ x ≈ 0 · 0,4 + 2 · 0,3 + 5 · 0,2 + 10 · 0,1 = 2,6 Der mittlere Gewinn pro Drehung wird also ca. 2,60€ betragen. Wir verallgemeinern diese Überlegung. Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k . Bei n-maliger Durchführung des Zufallsversuchs lautet der Mittelwert der erhaltenen Werte von X: _ x= a 1· h n ( a 1) + a 2· h n (a 2) + … + a k· h n(a k) Mit zunehmendem n nähern sich die relativen Häufigkeiten h n( a i ) den Wahrscheinlichkeiten P(a i ), die wir kurz mit p ibezeichnen (1 ª i ª k): _ x= a 1 · hn (a1) + a2 · hn (a2) + … + ak · hn (ak) μ = a1 · p1 + a2 · p2 + … + ak · pk Die Zahl μ, der sich der Mittelwert _ xdabei nähert, wird als Erwartungswert von X bezeichnet. Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a1 , a2 , …, ak , die mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , …, pk angenommen werden. Dann nennt man μ = e(X) = a 1· p 1+ a 2· p 2 + … + a k· p k den erwartungswert von X. Nach den obigen Überlegungen gilt: Je öfter der Zufallsversuch wiederholt wird, desto mehr nähert sich der Mittelwert der erhaltenen Werte von X dem Erwartungswert von X. Wir können also sagen: Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich dem Mittelwert der erhaltenen Variablenwerte bei sehr häufiger Wiederholung des Zufallsversuchs. R 0 0,4 0,3 0,2 0,1 2 5 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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