200 10 Wahrscheinl ichkei ts vertei lungen Man kann für jede diskrete Zufallsvariable X beobachten, dass sich für jeden Wert a idie relative Häufigkeit h n ( a i ) bei zunehmender Anzahl n der Versuchsdurchführungen der Wahrscheinlichkeit P(a i ) nähert, dh. die relative Häufigkeitsverteilung von X nähert sich der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Die Art der Annäherung hängt aber vom Verlauf der Versuchsserie ab. Wird eine Versuchsserie zu je n Versuchen mehrfach durchgeführt, so kann sich für jede Versuchsserie eine etwas andere relative Häufigkeitsverteilung der erhaltenen Werte a iergeben. Es ist jedoch eine Erfahrungstatsache, dass die relativen Häufigkeitsverteilungen für große n nicht sehr stark voneinander abweichen und um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung schwanken. empirisches gesetz der großen zahlen Wird eine Versuchsserie zu je n Versuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so weichen die jeweils erhaltenen relativen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beachte : Dieses Gesetz ist kein mathematisches Gesetz, sondern bloß eine Erfahrungstatsache. Es wird deshalb als „empirisches Gesetz“ bezeichnet. P(a i ) kann nicht als Grenzwert der h n ( a i) für n ¥ • aufgefasst werden, weil nicht für jedes vorgegebene ε > 0 sichergestellt werden kann, dass ab einem gewissen n die Ungleichung † h n ( a i) – P(a i) †< ε gilt. Wohl aber kann man für jedes vorgegebene ε > 0 beweisen, dass die Ungleichung † h n (a i) – P(a i) †º ε mit zunehmendem n immer unwahrscheinlicher wird. Projektvorschlag 1: Führt einen dreimaligen Münzwurf möglichst oft durch und notiert jedes Mal die Anzahl von „Kopf“! (Jeder wirft mehrmals, die Ergebnisse werden zusammengefasst.) Ermittelt dann die relative Häufigkeitsverteilung der Zufallsvariablen „Kopf“ und zeichnet ein Stabdiagramm! Vergleicht mit Beispiel 3 auf Seite 196! Projektvorschlag 2: Führt einen Wurf mit zwei Würfeln möglichst oft durch und notiert jedes Mal die Augensumme! (Jeder wirft mehrmals, die Ergebnisse werden zusammengefasst.) Ermittelt dann die relative Häufigkeitsverteilung der Zufallsvariablen „Augensumme“ und zeichnet ein Stabdiagramm. Vergleicht mit Beispiel 2 auf Seite 195! AuFgaBen 10 .14 Eine bestimmte Krankheit dauert höchstens drei Tage. An 400 Patienten hat man festgestellt, dass diese Krankheit bei 226 Patienten einen Tag, bei 143 Patienten zwei Tage und bei 31 Patienten drei Tage gedauert hat. 1) Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen „Krankheitsdauer D“ und stelle sie durch eine Tabelle dar! 2) Ermittle näherungsweise P(D ª 2)! 10 .15 Die Inkubationszeit einer Krankheit gibt die Zeit von der Infektion bis zum Ausbruch der Krankheit an. Bei 200 Patienten wurden für eine bestimmte Krankheit die in der folgenden Tabelle eingetragenen Werte der Inkubationszeit ermittelt: Inkubationszeit T (in Tagen) 1 2 3 4 5 absolute Häufigkeit 21 65 86 26 2 1) Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen „Inkubationszeit T“ und stelle sie durch eine Tabelle dar! 2) Ermittle näherungsweise P(T º 2), P(T º 3) und P(T º 4)! R Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv
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