20 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung Nähert sich z unbegrenzt der Zahl r, dann nähert sich 4 π _ 3 · (z 2 + z · r + r 2) unbegrenzt der Zahl 4 π _ 3 · (r 2 + r · r + r 2) = 4 π _ 3 · 3r 2= 4 π r 2. Also gilt: v’(r) = 4 π r 2 (dm 3/ dm) 5) Für r = 1 ergibt sich: v ’(1) = 4 π ≈ 12,57 (dm 3/ dm) Für r = 3 ergibt sich: v’(3) = 36 π ≈ 113,10 (dm 3/ dm) Allgemein definiert man: Definition Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl f(b) – f(a) __ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Der Grenzwert f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x heißt Differentialquotient von f an der stelle x oder Änderungsrate von f an der stelle x. Bemerkung: Der Begriff der Änderungsrate ist eine verallgemeinerung des Begriffs der Änderungsgeschwindigkeit. Man kann ihn nicht nur auf zeitabhängige Größen anwenden, sondern auch auf Größen, die von einer anderen Größe abhängen (zB von einem Radius r). Eine positive (mittlere) Änderungsrate bezeichnet man auch als (mittlere) zunahmerate. Eine negative (mittlere) Änderungsrate bezeichnet man auch als (mittlere) abnahmerate. eine wichtige vorstellung vom Differentialquotienten: Ist z sehr nahe bei x, dann gilt: f ’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x ≈ f(z) – f(x) __ z – x Man kann sich also unter dem Differentialquotienten an der Stelle x einen Differenzenquotienten in einer sehr kleinen Umgebung von x vorstellen. auFgaben 2 . 08 (Fortsetzung von 2.01) Beim Bungee-Jumping haben wir für die Geschwindigkeit nach 3 Sekunden erhalten: v(3) = 30m/s. Ermittle, um wie viel sich diese Geschwindigkeit von der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall [2,985; 3,018] unterscheidet! 2 . 09 Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t). Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ] ist die Änderung des Ortes in [t 1 ; t 2 ]. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist die Änderungsrate von s an der Stelle t. Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ] ist die mittlere Änderungsrate von s in [t 1 ; t 2 ]. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist der Differenzenquotient von s in [t 1 ; t 2 ]. Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ] ist die Änderung der Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ]. 2 .10 Berechne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall! a) f: x ¦ 3x2, [1; 5] c) f: x ¦ x2 – x, [0; 5] e) f: x ¦ 2 _ x, [– 5; – 2] b) f: x ¦ 2x – 1, [– 2; 4] d) f: x ¦ x3, [2; 8] f) f: x ¦ 1 _ x2 , [10; 20] 2 .11 Gib den Differenzenquotienten der nachstehenden Funktion im angegebenen Intervall an! a) x ¦ f(x), [b; b + h] c) t ¦ N(t), [t0 ; t0 + 1] e) r ¦ u(r), [a – 1; a] b) r ¦ A(r), [r1 ; r2 ] d) z ¦ y(z), [– z0 ; z0 ] f) s ¦ g(s), [0; s0 ] Ó applet 2695np R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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