190 Kompetenzcheck 9 . 37 Schräger Wurf Eine Kugel wird schräg nach oben geworfen, sodass ihre Bahnkurve in einer vertikalebene liegt. Beschränkt man sich auf die zweidimensionale Darstellung der Bahnkurve in dieser Ebene, kann man ein kartesisches Koordinatensystem zugrundelegen, dessen Achsen wir mit x und y bezeichnen. Die Bahnkurve der Kugel entsteht durch Überlagerung dreier Bewegungen: – einer gleichfömigen Bewegung parallel zur x-Achse – einer gleichfömigenBewegung parallel zur y-Achse – einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (freier Fall) parallel zur yAchse Wir nehmen an, dass die Kugel zum Zeitpunkt t = 0 vom Ursprung O = (0 1 0) aus mit der Geschwindigkeit _ À v= (v 1 1 v 2 ) schräg nach oben geschossen wird (v 1und v 2in m/s) und nach a Sekunden d Meter vom Abschusspunkt entfernt wieder auf dem waagrechten Boden auftrifft. Zum Zeitpunkt t befindet sich die Kugel im Punkt X(t) = (x(t) 1 y(t)) und hat in diesem Punkt die Geschwindigkeit _ À v(t) = (˙ x(t) 1 ˙ y(t)), wobei ˙ x(t) und ˙ y(t) die Ableitungen von x(t) bzw. y(t) nach t sind. Die folgende Abbildung zeigt die Bahnkurve der Kugel: a) Begründe, dass die Bahnkurve der Kugel die folgende Parameterdarstellung besitzt: X(t) = 2 v 1 · t 1 v 2 · t – g _ 2 · t 2 3 für 0 ª t ª a, wobei g die Erdbeschleunigung ist Begründe, dass die Bahnkurve der Kugel die folgende Gleichung besitzt: y = v 2 _ v 1 · x – g _ 2v 1 2 · x 2 für 0 ª x ª d b) Zeige, dass die Kugel nach a = 2v 2 _ g Sekunden wieder auf dem Boden aufschlägt! Berechne a für _ À v= (25 1 35) und g ≈ 9,81m/s 2! Runde auf Zehntelsekunden! c) Gib eine Formel für die Wurfweite d an! Berechne d für _ À v= (25 1 35) und g ≈ 9,81m/s 2! Runde auf dm! d) Berechne für _ À v= (25 1 35) die Koordinaten des höchsten Punktes der Bahnkurve! Runde auf dm! Berechne für _ À v= (25 1 35) und g ≈ 9,81m/s 2, zu welchen Zeitpunkten sich die Kugel in 10m Höhe befindet! Runde auf Zehntelsekunden! e) Stelle eine Formel für den Betrag von _ À v(t) auf! Zeige, dass die Beträge der Geschwindigkeiten beim Abschuss und beim Aufschlag der Kugel auf dem Boden gleich groß sind! Fa-r 1 . 4 Fa-r 1 . 5 Fa-r 1 . 7 aN- l 3 . 4 y(t) x(t) X(t) v1 v2 d x y 0 v(t) v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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