180 9 anwendungen der Di FFerent ialrechnung Definition Die Stellen x1 und x2 , an denen der Gewinn null ist, nennt man gewinngrenzen bzw. Breakeven-Mengen. Das Ermitteln dieser Stellen nennt man Break-even-analyse. Die Schnittpunkte der Graphen von Kosten und Erlösfunktion an den Gewinngrenzen heißen Break-even-Punkte (BEP). Die Produktionsmenge, für die der Gewinn maximal ist, bezeichnen wir mit x max . In der Abbildung zur Aufgabe 9.12 sind die Gewinngrenzen x 1und x 2 , die Break-even-Punkte BEP 1 und BEP 2, die gewinnmaximale Produktionsmenge x maxund das stückkostenminimale Betriebsoptimum x opteingezeichnet. Der Abbildung kann man entnehmen: 1) Die Gewinngrenzen x 1und x 2sind jene Stellen, an denen sich die Graphen der Funktionen E und K schneiden. Begründung: G(x) = 0 É E(x) – K(x) = 0 É E(x) = K(x) 2) An der Stelle x maxist die Tangente an den Graphen der Kostenfunktion K parallel zum Graphen der Erlösfunktion E. Begründung: G’(x max) = 0 É E’(x max) – K’(x max) = 0 É E’(x max) = K’(x max) Beachte Die gewinnmaximale Produktionsmenge xmax stimmt im Allgemeinen nicht mit der stückkostenminimalen Produktionsmenge xopt überein, dh. Gewinnmaximierung und Stückkostenminimierung sind unterschiedliche Optimierungsziele. auFgaben 9 .13 Berechne für die Kostenfunktion K und den festen verkaufspreis p die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn! a) K(x) = 0,001x2 + 2,6x + 9000 mit x * [0; 7500]; p = 13,5 b) K(x) = – 0,00625x2 + 15x + 1 000 mit x * [0; 1 000]; p = 15 c) K(x) = 0,002x3 – 0,18x2 + 7,8x + 9450 mit x * [0; 500]; p = 140 9 .14 Die Firma Factory kann für ein Erzeugnis die monatlichen Produktionskosten K(x) (in GE) in Abhängigkeit von der Produktionsmernge x (in ME) durch die lineare Funktion K mit K(x) = 2x + 5000 darstellen. 1) Gib eine wirtschaftliche Interpretation der Zahlen 2 und 5000 in der Kostenfunktion K an! 2) Factory muss das Erzeugnis zum vorgegebenen Marktpreis p anbieten. Begründe, dass Factory erst mit der Produktion beginnt, wenn der Marktpreis p mehr als 2GE/ME beträgt! 3) Derzeit produziert Factory mit einem monatlichen Output von 800ME und verkauft seine gesamte Produktion zum Preis von 10GE/ME auf dem Markt. a) Wie hoch ist der derzeitige monatliche Gewinn der Firma Factory? b) In Zulieferbetrieben wird gestreikt. Factory muss die Produktion zurückfahren. Der Prozentsatz, um den der Output höchstens sinken darf, wenn Factory weiterhin keine Verluste schreiben soll, heißt Sicherheitsgrad S. Wie hoch ist der aktuelle Sicherheitsgrad bei Factory? R Ó arbeitsblatt 4968vb Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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