18 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung auFgaben 2 . 02 (Fortsetzung von 2.01) Gib beim Bungee-Jumping eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit _ v(4; z) an und begründe, dass daraus v(4) = 40m/s folgt! 2 . 03 Die Tabelle ist ein Auszug aus dem Fahrplan des Railjet RJ 532. Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Klagenfurt und Bruck an der Mur sowie zwischen Bruck an der Mur und Wien Meidling! In welchem dieser beiden Streckenabschnitte fährt der Zug im Mittel schneller? Änderungsgeschwindigkeit 2 . 04 Aus einem zylindrischen Behälter, in dem sich anfänglich 100 Liter Wasser befinden, fließt Wasser aus. Es sei v(t) das volumen des im Behälter befindlichen Wassers zum Zeitpunkt t. Es gilt annähernd: v(t) = (10 – t) 2 (t in Sekunden, v(t) in Liter) 1) Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter leer? 2) Berechne die Änderung des volumens in den Zeitintervallen [0; 1] und [9; 10]! Was bedeutet das negative vorzeichen? 3) Berechne die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [0; 10]! 4) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [t; z] an! 5) Wir bezeichnen die Änderungsgeschwindigkeit des volumens zum Zeitpunkt t mit v’(t). Gib eine Formel für v’(t) an! 6) Berechne die Änderungsgeschwindigkeit des volumens zum Zeitpunkt 2 bzw. 8! lösung: 1) v(t) = 0 É t = 10. Der Behälter ist zum Zeitpunkt t = 10 Sekunden leer. 2) Änderung des volumens im Zeitintervall [0; 1] = v(1) – v(0) = 9 2– 10 2= –19 (®) Änderung des volumens im Zeitintervall [9; 10] = v(10) – v(9) = 0 2– 1 2= –1 (®) Das negative vorzeichen bedeutet, dass das volumen im jeweiligen Zeitintervall abnimmt. 3) mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [0; 10] = volumsänderung ___ verstrichene Zeit= = v(10) – v(0) __ 10 – 0 = 0 – 100 _ 10 = –10 (®/s) Das volumen nimmt im Mittel (!) um 10 Liter pro Sekunde ab (am Anfang mehr, am Ende weniger, siehe die obige Abbildung). 4) mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [t; z] = v(z) – v(t) __ z – t = = (10 – z) 2– (10 – t) 2 ___ z – t = (100 – 20z + z 2) – (100 – 20t + t 2) _____ z – t = z 2– t 2– 20(z – t) ___ z – t = (z – t)(z + t) – 20(z – t) ___ z – t = z + t – 20 (®/s) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 5) Unter v’(t) versteht man naheliegenderweise den Grenzwert der mittleren Änderungsgeschwindigkeiten des volumens für immer kleiner werdende Zeitintervalle [t; z]: v’(t) = lim z ¥ t v(z) – v(t) __ z – t = lim z ¥ t (z + t – 20) Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl t, dann nähert sich z + t – 20 unbegrenzt der Zahl t + t – 20 = 2t – 20. Also gilt: v’(t) = 2t – 20 (®/s) 6) Für t = 2 bzw. t = 8 ergibt sich: v’(2) = –16 (®/s) bzw. v’(8) = – 4 (®/s) R Ó lernapplet e49vp9 Bahnhof an ab km Klagenfurt Bruck a. d. Mur Wien Meidling 9:44 11:28 7:39 9:46 0 174 330 R t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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