179 9 .1 anwendungen in der WirtschaFtsmathemat ik gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz Gibt es für ein Produkt sehr viele unabhängige und gleichwertige Anbieter, dann hat der einzelne Anbieter aufgrund seines geringen Marktanteils keinen Einfluss auf den Produktpreis, der sich global durch das Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage bildet. Der Anbieter kann also sein Produkt nur zu einem vorgegebenen Marktpreis p (aber in beliebiger Menge) absetzen. Eine solche Marktstruktur nennt man vollständige Konkurrenz. Dabei stellt sich die Frage: Welche Menge x des Produkts soll erzeugt und angeboten werden, damit nach dem verkauf zum vorgegebenen Marktpreis p ein möglichst großer gewinn erzielt wird? Wir erinnern uns zunächst, wie die Begriffe Erlös und Gewinn definiert sind. Definition Werden x Mengeneinheiten eines Produktes zu den Produktionskosten K(x) erzeugt und zum Preis p (in GE/ME) verkauft, dann definiert man erlös (ertrag, Umsatz) = verkaufspreis mal verkaufte Menge e(x) = p · x Gewinn = Erlös minus Kosten G(x) = E(x) – K(x) 9 .12 Die Funktion K mit K(x) = x 3– 12x 2+ 60x + 100 für x * [0; 12] beschreibt näherungsweise die Produktionskosten eines Betriebs. Das Produkt muss zum vorgegebenen Preis p = 53GE/ME auf dem Markt angeboten werden. 1) Für welche Produktionsmengen x erzielt der Betrieb einen (positiven) Gewinn? 2) Für welche Produktionsmenge x ist der Gewinn maximal? lösung: 1) Ermitteln des Gewinnbereichs Erlös E(x) = p · x = 53 · x Kosten K(x) = x 3– 12x 2+ 60x + 100 Gewinn G(x) = E(x) – K(x) = = – x 3+ 12x 2– 7x – 100 Wir ermitteln zunächst mit Technologieeinsatz die Stellen mit dem Gewinn 0: G(x) = – x 3+ 12x 2– 7x – 100 = 0 É É x = 4 = x ≈ 10,4 = x ≈ –2,4 Da – 2,4 + [0; 12] ist, ergibt sich: Für x = 4 und x ≈ 10,4 ist der Gewinn null. An der Abbildung sieht man: Der Betrieb erzielt zwischen den Gewinngrenzen x1 und x2 einen (positiven) Gewinn. Bei allen anderen Produktionsmengen arbeitet er ohne Gewinn. 2) Gewinnmaximierung Wir suchen das Maximum der Gewinnfunktion G für x * [0; 12]. Mögliche Maximumstellen sind die Stellen mit G’(x) = 0 und die Randstellen x = 0 und x = 12. G’(x) = 0 É – 3x2 + 24x – 7 = 0 É x ≈ 0,3 = x ≈ 7,7 G(0) = –100; G(0,3) ≈ –101; G(7,7) ≈ 101; G(12) ≈ –184 Der vergleich der Gewinnwerte ergibt: Den maximalen Gewinn von ungefähr 101GE erzielt der Betrieb dann, wenn er ca. 7,7ME produziert und zum Marktpreis verkauft. R 100 –100 –200 200 300 400 500 600 xmax xopt 700 2 6 8 10 12 0 4 K(x) E(x) G(x) K E G x BEP 1 BEP 2 verlustzone verlustzone Gewinnzone G(x) > 0 untere Gewinngrenze x1 obere Gewinngrenze x2 Ó applet g7x89g Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
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