178 9 anwendungen der Di FFerent ialrechnung Satz Sei A a ℝ 0 +ein Intervall und K: x ¦ K(x) mit x * A eine differenzierbare Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum x optliege im Inneren von A. Dann gilt: _ K( x opt) = K’(x opt) Beweis : _ K(x) = K(x) _ x w _ K’(x) = K’(x) · x – K(x) __ x 2 . Wegen xopt im Inneren von A gilt: _ K’(x opt) = 0. Daraus folgt: K’(x opt) · x opt– K(x opt) = 0 w K’(x opt) = K(x opt) _ x opt = _ K(x opt) Merke Im Betriebsoptimum x opt gilt: Stückkosten _ K(x opt) = grenzkosten K’(x opt) Die Stückkosten _ K(x opt ) im Betriebsoptimum liefern dem Unternehmer eine weitere wichtige Information: Langfristig arbeitet ein Betrieb nur dann ohne verlust, wenn er die gesamte Produktionsmenge zumindest zu jenem Stückpreis verkaufen kann, der die Stückkosten abdeckt. Die minimalen Stückkosten _ K(x opt ) geben daher die langfristige Preisuntergrenze der Produktion an. auFgaben 9 . 06 (Fortsetzung von 9.05) 1) Wie hoch ist die langfristige Preisuntergrenze der Produktion? 2) Wie viele ME muss der Betrieb erzeugen und verkaufen, damit er bei einem verkaufspreis an der langfristigen Preisuntergrenze gerade noch kostendeckend arbeitet? 9 . 07 Zeige, dass die Kostenfunktion K das angegebene Betriebsoptimum x optbesitzt, und berechne die langfristige Preisuntergrenze der Produktion! a) K(x) = 0,0001x3 – 0,03x2 + 100x + 170000; x opt = 1 000 b) K(x) = 3x 2 + 50x + 2700; x opt = 30 9 . 08 Die Kostenfunktion K eines Unternehmens bezogen auf einen Tag ist näherungsweise gegeben durch K(x) = 0,001 · x 3– 0,2 · x 2+ 180x + 36000 (in GE). Zeige, dass der Betrieb täglich 300ME produzieren muss, um seine Stückkosten zu minimieren! 9 . 09 Ein Hersteller modelliert den Kostenverlauf seiner Produktion durch eine lineare Funktion K. Die Fixkosten betragen 250GE. Jede Produktionssteigerung um 5ME führt zu einem Kostenanstieg von 100GE. Aus Kapazitätsgründen können maximal 50ME produziert werden. 1) Gib Termdarstellungen der Kostenfunktion K und der Stückkostenfunktion _ Kan! 2) Zeichne die Graphen von K und _ K! 3) Ist eine Produktion mit Stückkosten kleiner als 10GE/ME möglich? Begründe! 4) Ermittle das Betriebsoptimum und die kleinsten Stückkosten der Produktion! 9 .10 Der streng monoton steigende Kostenverlauf einer Produktion kann annähernd als lineare Funktion K: x ¦ K(x) angegeben werden. Aus technischen Gründen können maximal x 0Mengeneinheiten erzeugt werden. Ermittle das Betriebsoptimum der Produktion! 9 .11 Begründe: 1) Den Stückkosten _ K(x) entspricht geometrisch die Steigung des so genannten „Fahrstrahls“ aus dem Ursprung O durch den Punkt P = (x 1 K(x)) auf dem Graphen der Kostenfunktion K. 2) Die Tangente an den Graphen der Kostenfunktion K an der Stelle des Betriebsoptimums geht durch den Ursprung. R K(x) K 0 x x opt P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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