168 8 eXakt i f i z ierUng der Di fferent ialrechnUng 8 . 6 historisches zUr DifferentialrechnUng intuitive Phase der Differentialrechnung Als Begründer der Differentialrechnung gelten – nach verschiedenen vorläufern – vor allem isaac Newton (1643 –1727) und gottfried Wilhelm leibniz (1646 –1716). Dabei ging Newton vom Problem der Geschwindigkeit zu einem speziellen Zeitpunkt aus, während bei Leibniz das Tangentensteigungsproblem im vordergrund stand. Beide entwickelten nahezu gleichzeitig, aber unabhängig voneinander, die wichtigsten Differentiationsregeln. von ihnen und ihren Nachfolgern wurde die Methode der Differentialrechnung auf Probleme der Naturwissenschaften, insbesondere der Physik und Astronomie (Berechnung von Planetenbahnen), erfolgreich angewendet. Dies, obwohl die dabei durchgeführten Grenzwertüberlegungen vom heutigen Standpunkt aus als unexakt angesehen werden können und etwa dem Präzisionsniveau entsprechen, auf dem wir uns in den Kapiteln 2 und 3 bewegt haben. Newton betrachtet zeitabhängige Größen. Nach seiner Ausdrucksweise „fließt“ eine solche Größe in der Zeit, weshalb er sie als „Fluente“ bezeichnet. Ihre Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet er als „Fluxion“ und wählt dafür das Symbol x·(t). Newton ermahnt jedoch seine Leser, die „Zeit“ seiner Fluxionsrechnung nicht mit der realen Zeit zu verwechseln, dh. t kann auch irgendeine andere kontinuierlich veränderbare Größe sein. Wie Newton bei der Herleitung von Differentiationsregeln vorgeht, erläutern wir am Beispiel von x(t) = t3. Er interpretiert x(t) als den in der Zeit t zurückgelegten Weg und betrachtet ein „unendlich kleines“ Zeitintervall [t; t + o]. In diesem Zeitintervall nimmt er gleichförmige Bewegung an. Die Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall ist dann der Differenzenquotient: x(t + o) – x(t) ___ o = (t + o)3 – t3 __ o Der Zähler dieses Bruchs kann umgeformt werden: (t + o)3 – t3 = t3 + 3t2 o + 3to2 + o3 – t3 = = 3t2 o + 3to2 + o3 Dividiert man durch o (es ist o ≠ 0 vorausgesetzt), erhält man: (t + o)3 – t3 __ o = 3t 2 + 3to + o2 Setzt man nun nachträglich doch o = 0, ergibt sich die Ableitung: x·(t) = 3t2 issac Newton (1643 –1727) gottfried Wilhelm leibniz (1646 –1716) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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