167 8 . 5 eXakt i f i z ierUng des grenzWertbegri ffs 8 . 08 Gegeben ist die Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x 2 . Beweise, dass f an der Stelle 2 stetig ist! lösUng: Wir zeigen: lim x ¥ 2 f(x) = 4 = f(2). 1. schritt: Wir geben ein beliebiges ε > 0 vor. 2. schritt: Wir zeigen, dass sich ein geeignetes δ > 0 finden lässt. Für alle x * ℝ gilt: f(x) * U ε (4) É 4 – ε < f(x) < 4 + ε É É 4 – ε < x 2 < 4 + ε É É 9___ 4 – ε < x < 9___ 4 + ε Hier müssen wir ε ª 4 voraussetzen. Das ist aber keine wesentliche Einschränkung, denn wenn man für ein kleines ε > 0 ein geeignetes δ > 0 finden kann, dann erst recht für ein großes ε. Wählen wir δ so klein, dass die Umgebung U δ(2) ganz im Intervall ( 9___ 4 – ε ; 9___ 4 + ε ) liegt, dann folgt für alle x * ℝ: x * ˙ U δ (2) w f(x) * U ε (4). Somit ist lim x ¥ 2 f(x) = 4. In den letzten beiden Aufgaben haben wir Grenzwertaussagen bewiesen, die schon von vornherein intuitiv klar waren. Die nächste Aufgabe zeigt aber, dass man mit der exakteren Grenzwertdefinition auch Fälle klären kann, die von vornherein nicht so klar sind. 8 . 09 (Fortsetzung von 8.04) Gegeben ist die Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = †x†. In Aufgabe 8.04 haben wir erfolglos versucht, die Ableitung f’(0) dieser Funktion zu ermitteln. Beweise jetzt mit Hilfe der exakteren Grenzwertdefinition, dass f’(0) nicht existiert! lösUng: f’(0) = lim x ¥ 0 †x† – †0† _ x – 0 = lim x ¥ 0 †x† _ x = lim x ¥ 0 d(x) mit d(x) = †x† _ x Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = †x† ist in Abb. 8.3a, die Funktion d: ℝ* ¥ ℝ in Abb. 8.3b dargestellt. Abb. 8.3a Abb. 8.3b Wir beweisen indirekt, dass lim x ¥ 0 d(x) nicht existiert. Angenommen, es gibt eine Zahl q mit lim x ¥ 0 d(x) = q. Dann muss es nach der Grenzwertdefinition speziell zu ε = 1 _ 2ein δ > 0geben, sodass für alle x * ℝ* gilt: x * ˙ U δ (0) w f(x) * U ε (q). Eine solches δ gibt es aber nicht, weil es in jeder Umgebung ˙ U δ (0) Stellen x 1und x 2mit d(x 1) – d(x 2) = 2 gibt (siehe Abb. 8.3b), die folglich nicht beide in der Umgebung U 1 _ 2 (0) liegen können. aUfgaben 8 .10 Beweise mit Hilfe der exakteren Grenzwertdefinition und illustriere an einer Skizze: a) lim x ¥ 2 (x + 1) = 3 b) lim x ¥ p c = c c) lim x ¥ 9 9_ x= 3 d) lim x ¥ 3 1 _ x = 1 _ 3 f(x) x f 2 2 + δ 2 – δ 4 4 + ε 4 – ε 9___ 4 – ε 9___ 4 + ε 0 0 1 x –1 1 f f(x) 0 δ x –δ 1 –1 d d d(x) x2 x1 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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