164 8 eXakt i f i z ierUng der Di fferent ialrechnUng 8 . 5 eXaktifizierUng des grenzWertbegriffs gründe für eine genauere Fassung des grenzwertbegriffs Grenzwerte haben wir bisher durch Argumentationen mit unbegrenztem Nähern ermittelt. Es gibt jedoch Fälle, in denen diese Methode versagt, wie die nächste Aufgabe zeigt. 8 . 04 Wir betrachten die Funktion f mit f(x) = †x†. Ermittle f’(0)! lösUng: f’(0) = lim x ¥ 0 f(x) – f(0) __ x – 0 = lim x ¥ 0 †x† – †0† _ x – 0 = lim x ¥ 0 †x† _ x Wir versuchen, diesen Limes durch unbegrenztes Nähern zu ermitteln. 1 . versUch: Wenn sich x unbegrenzt der Zahl 0 nähert, dann nähern sich sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs unbegrenzt der Zahl 0. Der Quotient 0 _ 0ist aber nicht definiert. Wir kommen so nicht weiter. 2 . versUch: Es sei d(x) = f(x) – f(0) __ x – 0 = †x† _ x = { –1 für x < 0 1 für x > 0 Nähert sich x von rechts her unbegrenzt der Zahl 0, so nähert sich d(x) unbegrenzt der Zahl 1. Nähert sich x von links her unbegrenzt der Zahl 0, so nähert sich d(x) unbegrenzt der Zahl –1. Was bedeutet das? Gibt es zwei Grenzwerte? Oder ist weder 1 noch –1 Grenzwert? Wir kommen auch so nicht weiter. In der letzten Aufgabe konnten wir den Grenzwert nicht ermitteln. Wir konnten nicht einmal klären, ob es ihn gibt. Der Grund dafür ist darin zu suchen, dass wir nie genau definiert haben, was ein Grenzwert eigentlich ist. Wir werden uns daher im Folgenden bemühen, eine exaktere Definition des Grenzwerts zu erarbeiten. Dies wird uns nicht nur helfen, Grenzwerte zu berechnen, die wir bisher nicht berechnen konnten, sondern wird auch unsere bisherige Argumentation mit unbegrenztem Nähern auf eine exaktere Basis stellen. häufungsstellen Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Um vom Grenzwert lim x ¥ p f(x) = q sprechen zu können, muss man sich der Stelle p mit Zahlen x * A unbegrenzt nähern können. Das bedeutet, dass in jeder (noch so kleinen) Umgebung von p ein von p verschiedenes x * A liegen muss. Eine solche Stelle p erhält einen eigenen Namen. Definition Eine Stelle p heißt häufungsstelle einer Menge a a R, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von p ein von p verschiedenes x * A liegt. Eine Häufungsstelle einer Menge A kann zu A gehören, muss dies aber nicht tun. Beispiel : Die Randstellen a und b eines offenen Intervalls (a; b) sind Häufungsstellen des Intervalls, obwohl sie nicht zum Intervall gehören. L 0 1 x –1 1 f f(x) 0 1 x –1 1 –1 d d d (x) L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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