162 8 eXakt i f i z ierUng der Di fferent ialrechnUng 8 . 4 sÄtze über stetige Und differenzierbare FUnktionen sätze über stetige Funktionen Reelle Funktionen, die in einem abgeschlossenen Intervall stetig sind, haben bemerkenswerte Eigenschaften. Wir stellen einige dieser Sätze im Folgenden zusammen. Sie sind alle anschaulich sehr einleuchtend, Beweise führen wir jedoch nicht durch. satz (Maximum-Minimum-satz) Ist eine reelle Funktion stetig in einem abgeschlossenen Intervall [a; b], dann gibt es in [a; b] mindestens eine Maximumstelle und mindestens eine Minimumstelle von f. satz (Nullstellensatz) Ist die reelle Funktion f stetig in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] und ist f(a) º 0 und f(b) ª 0 [oder f(a) ª 0 und f(b) º 0], dann besitzt f mindestens eine Nullstelle in [a; b]. Dieser Satz lässt sich verallgemeinern: satz (zwischenwertsatz) Ist die reelle Funktion f stetig in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] und ist f(a) º q und f(b) ª q [oder f(a) ª q und f(b) º q], dann gibt es mindestens eine stelle p * [a; b] mit f(p) = q. satz (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Ist die reelle Funktion f stetig in [a; b] und differenzierbar in (a; b), dann gibt es eine stelle p * (a; b) mit f’(p) = f(b) – f(a) __ b – a . (Das bedeutet, dass es zwischen a und b mindestens eine Stelle p gibt, an der die Steigung der Tangente an den Graphen von f gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) und somit die Tangente parallel zur Sekante ist.) Beachte : Im Mittelwertsatz ist die voraussetzung der Differenzierbarkeit wesentlich. Die nebenstehend dargestellte Funktion f ist in [a; b] stetig und nur an einer einzigen Stelle c * (a; b) nicht differenzierbar. Dies bewirkt bereits, dass es keine Stelle in (a; b) gibt, an der die Tangente parallel zur Sekante ist. L a b f 0 a b f f(a) f(b) 0 a p b f f(a) q f(b) 0 a p b f f(b) f(a) 0 Ó applet ib4vj8 a c b f(b) f(a) f 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
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