159 8 . 2 stet igkei t 8 . 2 stetigkeit stetige und unstetige Funktionen Für eine Funktion f: [a; b] ¥ ℝ schließt man manchmal so: Ist f(a) > 0 und f(b) < 0, dann besitzt f mindestens eine Nullstelle zwischen a und b (siehe Abb. 8.1 a). Dieser Schluss ist aber für Sprungfunktionen nicht immer gerechtfertigt (siehe Abb. 8.1 b). Abb. 8.1 a Abb. 8.1 b Wir haben schon im Abschnitt 6.1 darauf hingewiesen, dass Funktionen, die keine Sprungfunktionen sind, zu den stetigen Funktionen zählen. Im Folgenden präzisieren wir diesen Begriff. Wie kann der Begriff einer stetigen Funktion exakter definiert werden? Wir betrachten dazu die folgenden drei Funktionen: f1 (x) = x + 1 f2 (x) = { x + 1 2 für x ≠ 0 für x = 0 f3 (x) = { x + 1 x für x < 0 für x º 0 lim x ¥ 0 f1 (x) = 1 = f1 (0) lim x ¥ 0 f2 (x) = 1 ≠ f2 (0) lim x ¥ 0 f3 (x) existiert nicht von diesen Funktionen werden wir nur die Funktion f 1 an der Stelle 0 stetig nennen, da die anderen beiden an der Stelle 0 einen Sprung aufweisen. Dies legt folgende Definition nahe: Definition (stetigkeit) Eine reelle Funktion f: a ¥ ℝ heißt (1) an der stelle p * a stetig, wenn lim x ¥ p f(x) = f(p) ist, (2) an der stelle p * a unstetig, wenn lim x ¥ p f(x) nicht existiert oder von f(p) verschieden ist, (3) stetig, wenn sie an jeder Stelle p * A stetig ist, (4) unstetig, wenn sie an mindestens einer Stelle p * A nicht stetig ist. 8 . 01 Nebenstehend ist der Graph der Funktion f: ℝ* ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ x gezeichnet. 1) Ist die Polstelle 0 eine Unstetigkeitsstelle von f? Begründe! 2) Ist f stetig? Begründe! lösUng: 1) Die Polstelle 0 ist keine Unstetigkeitsstelle von f, weil 0 nicht in der Definitionsmenge ℝ* von f liegt. 2) Die Funktion f ist stetig, weil sie an jeder Stelle p * ℝ* stetig ist. Merke Polstellen sind keine Unstetigkeitsstellen, weil sie nicht zur Definitionsmenge von f gehören. R f(x) a b x f 0 f(x) a b x f f 0 1 f1(x) 1 2 –1 –1 0 x f1 1 f2(x) 1 2 –1 –1 0 x f2 1 f3(x) 1 2 –1 –1 0 x f3 f3 2 f(x) f 2 4 0 x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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