157 Kompetenzcheck 7. 88 Hyperbelfunktionen Man definiert: (1) Für alle x * ℝ setzt man: Sinus hyperbolicus von x = sinh(x) = e x– e – x __ 2 (2) Für alle x * ℝ setzt man: Cosinus hyperbolicus von x = cosh(x) = e x+ e – x __ 2 Die Funktionen sinh: ℝ ¥ ℝ und cosh: ℝ ¥ ℝ heißen Hyperbelfunktionen. Ihre Graphen sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Diese Funktionen haben zum Teil ähnliche Eigenschaften wie die Funktionen sin: ℝ ¥ ℝ und cos: ℝ ¥ ℝ. a) Zeige, dass für alle x * ℝ gilt: cos 2(x) + sin 2(x) = 1 Zeige, dass für alle x * ℝ gilt: cosh 2(x) – sinh 2(x) = 1 b) Zeige, dass eine Kurve mit der folgenden Parameterdarstellung ein Kreis ist: X = (x 1 y) = (a · cos(t) 1 a · sin(t)) mit a, b * ℝ +und t * ℝ Zeige, dass eine Kurve mit der folgenden Parameterdarstellung der rechte Ast einer Hyperbel ist (daraus leitet sich der Name „Hyperbelfunktionen“ her): X = (x 1 y) = (a · cosh(t) 1 b · sinh(t)) mit a, b * ℝ +und t * ℝ c) Zeige: sinh ist eine ungerade Funktion und cosh eine gerade Funktion. Ermittle Formeln für sinh’(x) und cosh’(x)! d) Die obige Abbildung legt folgende Aussagen nahe. Beweise diese durch Rechnung! Für alle x * ℝ gilt: cosh(x) º 1 Für alle x * ℝ gilt: cosh(x) > sinh(x) e) Die obige Abbildung legt auch nahe, dass sich cosh(x) und sinh(x) mit wachsendem x immer weniger unterscheiden. Begründe: lim x ¥ • (cosh(x) – sinh(x)) = 0 Gib an, ab welchem x sich cosh(x) und sinh(x) um weniger als ein Millionstel unterscheiden! Runde auf drei Nachkommastellen! Fa-r 1 . 5 ag-r 2 .1 aN-r 2 .1 ag- l 5 .1 x sinh(x), cosh(x) 1 2 – 2 – 1 1 2 3 4 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 sinh cosh Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
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