156 Kompetenzcheck aUFgaBeN voM tyP 2 7. 85 radioaktiver zerfall Ein radioaktiver Zerfallsprozess verläuft nach dem Gesetz N(t) = 1 000 · e – 0,0227261 · t (t in Minuten). a) Stelle eine Formel für die Zerfallsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t auf! Berechne die Zerfallsgeschwindigkeit (in Atome/min) nach 10 Sekunden! b) Gib an, ob die Zerfallsgeschwindigkeit mit zunehmender Zeit betragsmäßig zunimmt, abnimmt oder gleich bleibt! Zeichne die Graphen der Funktionen N und N’ mit Technologieeinsatz! 7. 86 Harmonische schwingung Die Elongation einer harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t ist gegeben durch s(t) = 3 · sin(2t) (s(t) in Meter, t in Sekunden). a) Gib die Amplitude der Schwingung an! Gib die Anzahl der vollen Schwingungen im Zeitintervall [0; 2 π] an! b) Gib die Schwingungsdauer der Schwingung an! Gib die Frequenz der Schwingung an! c) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t auf und gib an, wie groß diese Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten t = 0 und t = π _ 2ist! Stelle eine Formel für die Beschleunigung des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t auf und gib an, wie groß diese Beschleunigung zu den Zeitpunkten t = 0 und t = π _ 2ist! 7. 87 gedämpfte schwingung viele Systeme (zB Federungseinrichtungen in Kraftfahrzeugen) führen bei einer einmaligen Anregung eine „gedämpfte Schwingung“ aus. Für die Elongation s(t) zum Zeitpunkt t gilt dabei näherungsweise: s(t) = c · e – δ t· sin(ω t) (mit t * R 0 +). Die Zahlen c, ω und δ sind positive Konstanten, die vom jeweiligen System abhängen (δ heißt Dämpfungskonstante). a) Erläutere, wodurch sich eine gedämpfte Schwingung von einer harmonischen Schwingung unterscheidet! Ermittle die Nullstellen der Funktion s! b) Untersuche durch Rechnung, ob jede lokale Extremstelle von s genau in der Mitte zwischen ihren beiden benachbarten Nullstellen von s liegt! Untersuche durch Rechnung, ob die Wendestellen von s mit den Nullstellen von s identisch sind! c) Die Funktionen f und g mit f(t) = c · e – δ tund g(t) = – c · e – δ tbezeichnet man als „Einhüllende“ der Funktion s. Zeige, dass für alle t * ℝ 0 +gilt: g(t) ª s(t) ª f(t). Berechne die Schnittpunkte von s mit diesen „Einhüllenden“! Fa-r 1 . 5 Fa-r 5 . 4 aN-r 1 . 3 aN-r 2 .1 Fa-r 6 .1 Fa-r 6 . 2 Fa-r 6 . 3 Fa-r 6 . 6 aN-r 2 .1 Fa-r 1 . 4 Fa-r 1 . 6 Fa-r 6 . 6 aN-r 2 .1 aN-r 3 . 3 0 s c g t f – c s (t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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