15 KoMpeteNzcheck aUFgaBEN VOM tYP 2 1 . 33 gleichungen höheren grades a) Aus gleichartigen Würfeln werden Pyramiden in mehreren Schichten wie in nebenstehender Abbildung gebaut. Um eine aus n Schichten bestehende Pyramide zu erhalten, benötigt man insgesamt n(n + 1)(2n + 1) ___ 6 Würfel. Überprüfe dies für eine aus vier Schichten bestehende Pyramide! Berechne, wie viele Schichten man mit 140 Würfeln erhält! b) Mit gleichartigen Würfeln soll eine Stiege wie in nebenstehender Abbildung gebaut werden. Um eine solche Stiege mit n Stufen zu erhalten, sind insgesamt n · (n + 1) __ 2 Würfel notwendig. Überprüfe dies für eine Stiege dieser Art mit 5 Stufen! Begründe, dass es nicht möglich ist, eine solche Stiege mit 130 Würfeln zu bauen! c) Füllt man ein würfelförmiges Gefäß bis 1 dm unter der Oberkante mit Wasser, enthält es 100 Liter. Berechne die Kantenlänge des Gefäßes! Für ein quaderförmiges Gefäß ist die Breite um 3dm größer als die Höhe und die Länge um 3dm größer als die Breite. In das Gefäß passen genau 80 Liter Wasser hinein. Berechne die Höhe des Gefäßes! 1 . 34 Nullstellen von Polynomfunktionen a) Stelle das Polynom f(x) = x 3 + 3x 2– 5x + 1 in der Form f(x) = (x – 1) · g(x) mit einem Polynom g(x) dar! Lässt sich auch das Polynom h(x) = x 3 – 3x 2– 5x + 1 in dieser Form darstellen? Überprüfe mit Technologieeinsatz und begründe die Antwort! b) Zerlege das Polynom f(x) = x 3 – 6x 2+ 11x – 6 in Linearfaktoren und gib alle reellen Lösungen der Gleichung f(x) = 0 an! Gib ein Polynom f(x) vom Grad 3 an, das den Linearfaktor (x + 2) enthält und die Lösungen – 3 und 1 besitzt! c) Gib eine Polynomfunktion vom Grad 3 mit genau drei Nullstellen an, von denen eine negativ und die anderen beiden positiv sind! Gib eine Polynomfunktion vom Grad 4 mit genau zwei Nullstellen an, die beide negativ sind! d) Gib eine Polynomfunktion vom Grad 5 an, die nur die Nullstelle 0 und zwei weitere von 0 verschiedene Nullstellen besitzt! Gib eine Polynomfunktion vom Grad 6 an, die keine Nullstelle besitzt! ag-R 1 . 2 Fa-R 4 . 4 ag-R 1 . 2 Fa-R 4 . 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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