148 7 erwei terung der Di fferent ialrechnung Die Stellen – 2 und 2 in der letzten Aufgabe bezeichnet man als Polstellen der Funktion f. Definition Eine Stelle a heißt Polstelle einer reellen Funktion f, wenn gilt: (1) f ist in einer Umgebung von a definiert, aber nicht an der Stelle a. (2) Nähert sich x von links oder rechts her unbegrenzt der Stelle a, so strebt f(x) gegen • oder – •. An einer Polstelle a kommt der Graph von f der Geraden x = a von beiden Seiten her beliebig nahe, ohne diese jemals zu erreichen. Die Gerade x = a ist eine asymptote des Graphen von f. aufgaBen 7. 42 Ermittle die Polstellen der Funktion f! a) f(x) = 1 _ x 2 b) f(x) = 1 _ x 2– 1 c) f(x) = 1 __ x 2+ x – 2 7. 43 Zeichne den Graphen der Funktion f mit Technologieeinsatz! Untersuche f durch Rechnung in Hinblick auf größtmöglichen Definitionsbereich, Monotonie und lokale Extremstellen! Gib allenfalls vorhandene Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f an! a) f(x) = 1 _ x e) f(x) = 2x – 1 _ x + 1 i) f(x) = 1 _ x2 – 1 b) f(x) = 1 _ x2 f) f(x) = x + 1 _ 2x – 4 j) f(x) = x _ x2 + 1 c) f(x) = 1 _ x – 1 g) f(x) = 1 _ x3 k) f(x) = 1 __ x2 – x + 6 d) f(x) = 1 _ x + 1 h) f(x) = 1 _ x2 + 1 l) f(x) = 1 _ (x – 1) 2 7. 44 Zeichne den Graphen der Funktion f mit Technologieeinsatz! Untersuche f durch Rechnung in Hinblick auf größtmöglichen Definitionsbereich, Monotonie, lokale Extremstellen und Krümmung! Gib allenfalls vorhandene Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f an! a) f(x) = x + 1 _ x d) f(x) = 1 _ x + 1 _ x2 g) f(x) = 1 – 1 _ x b) f(x) = x 2 + 1 _ x e) f(x) = 1 _ x + 1 _ x 3 h) f(x) = x _ x – 1 c) f(x) = 1 _ x 3 + 1 f) f(x) = 1 _ x 2 + 1 _ x 3 i) f(x) = x _ x + 1 7. 45 Der Graph der Funktion f mit f(x) = ax + b _ x2 (mit a, b ≠ 0) hat den Tiefpunkt T = (2 1 9). Ermittle a und b! 7. 46 Der Graph der Funktion f mit f(x) = ax + b _ x2 (mit a, b ≠ 0) hat den Wendepunkt W = (–1 1 – 2). Ermittle a und b! 7. 47 Der Graph der Funktion f mit f(x) = a – bx _ x2 (mit a, b ≠ 0) hat den Wendepunkt W = 2 6 1 – 1 _ 9 3. Ermittle a und b! 7. 48 Der Graph der Funktion f mit f(x) = ax + b _ x(mit a, b > 0) hat einen Tiefpunkt an der Stelle 2. Die Steigung an der Stelle 1 beträgt –3. Ermittle a und b! 7. 49 Zeige, dass die Funktion f weder eine Extremstelle noch eine Wendestelle besitzt (a, b * ℝ +) ! a) f(x) = x + a _ bx (mit x ≠ 0) c) f(x) = ax _ x + b (mit x ≠ –b) b) f(x) = ax + 1 _ bx (mit x ≠ 0) d) f(x) = ax _ 1 + bx 2 mit x ≠ – 1 _ b 3 L Ó lernapplet r5626x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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