144 7 erwei terung der Di fferent ialrechnung 7. 2 Weitere aBleitungsregeln Die Produktregel Die Funktion f mit f(x) = x · sin x ist von der Form f(x) = u(x) · v(x) mit u(x) = x und v(x) = sin x. Im Folgenden leiten wir eine Ableitungsregel für solche Funktionen her. satz (Produktregel) f(x) = u(x) · v(x) w f’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x) Kurz: f = u · v w f’ = u’v + uv’ Merke Ableitung eines Produkts = erster Faktor differenziert mal zweiter Faktor unverändert + erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor differenziert Beweis der regel : f(z) – f(x) __ z – x = u(z) · v(z) – u(x) · v(x) ___ z – x Wir fügen im Zähler –u(x)v(z) + u(x)v(z) (also 0) als Summand ein: f(z) – f(x) __ z – x = u(z) · v(z) – u(x) · v(z) + u(x) · v(z) – u(x) · v(x) _______ z – x = [u(z) – u(x)] · v(z) + u(x) · [v(z) – v(x)] ______ z – x = = u(z) – u(x) __ z – x · v(z) + u(x) · v(z) – v(x) __ z – x f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x) 7. 25 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x · sin(x). Ermittle f’(x)! lösung: f’(x) = 1 · sin(x) + x · cos(x) = sin(x) + x · cos(x) aufgaBen 7. 26 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x 2· sin(x) b) f(x) = e x· cos(x) c) f(x) = x 2· e x d) f(x) = 3x · 2 x Die Quotientenregel Die Funktion f mit f(x) = x 2 _ x + 1 (mit x ≠ –1) ist von der Form f(x) = u(x) _ v(x)mit u(x) = x 2und v(x) = x + 1. Im Folgenden leiten wir eine Ableitungsregel für solche Funktionen her. satz (Quotientenregel) f(x) = u(x) _ v(x) w f’(x) = u’(x) · v(x) – u(x) · v’(x) ____ [v(x)] 2 Kurz: f = u _ v w f’ = u’v – uv’ __ v 2 Beweis : f(z) – f(x) __ z – x = u(z) _ v(z) – u(x) _ v(x) __ z – x = u(z)v(x) – v(z)u(x) ___ (z – x) · v(z) · v(x) Wir fügen im Zähler –u(x)v(x) + u(x)v(x) (also 0) als Summand ein: f(z) – f(x) __ z – x = u(z)v(x) – u(x)v(x) + u(x)v(x) – v(z)u(x) ______ (z – x)v(z)v(x) = [u(z) – u(x)] · v(x) – u(x) · [v(z) – v(x)] ______ (z – x)v(z)v(x) = = 1 __ v(z)v(x)· 4 u(z) – u(x) __ z – x · v(x) – u(x) · v(z) – v(x) __ z – x 5 f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = 1 __ v(x)v(x) · [u’(x) · v(x) – u(x) · v’(x)] = u’(x)v(x) – u(x)v’(x) ___ [v(x)]2 L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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