141 7.1 aBlei tungen wei terer Funkt ionen ableitung von f(k · x) satz (ableitungsregel für f(k · x)) g(x) = f(k · x) w g’(x) = f’(k · x) · k (k * ℝ*) Beweis : g(z) – g(x) __ z – x = f(k · z) – f(k · x) ___ z – x = f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x · k · z – k · x __ z – x = f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x · k · (z – x) __ z – x = = f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x · k Da k · z genau dann gegen k · x strebt, wenn z gegen x strebt, folgt: g’(x) = lim z ¥ x g(z) – g(x) __ z – x = lim k · z ¥ k · x f(k · z) – f(k · x) ___ k · z – k · x · lim z ¥ x k = f ’(k · x) · k 7. 03 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 9__ 2x b) f(x) = – 4 · 9 __ 6x lösung: a) f’(x) = 1 _ 2 · 9__ 2x · 2 = 1 _ 9__ 2x = 9_ 2 _ 2 · 9_ x b) f’(x) = – 4 · 1 _ 2 · 9__ 6x · 6 = – 12 _ 9__ 6x = – 2 · 9_ 6 _ 9_ x aufgaBen 7. 04 Ermittle f’(x)! a) f(x) = 9__ 4x b) f(x) = 6 · 9 __ 3x c) f(x) = 2x – 9__ 2x d) f(x) = x 2 – 2 _ 5· 9__ 5x 7. 05 Untersuche die Funktion f: ℝ 0 + ¥ ℝ ‡ x ¦ 9_ xin Hinblick auf Nullstellen, Monotonie, Krümmung, globale und lokale Extremstellen sowie Wendestellen! ableitung von exponentialfunktionen satz (ableitungsregeln für exponentialfunktionen) (1) f(x) = e x w f’(x) = e x (2) f(x) = a x w f’(x) = a x· ln(a) (wobei a * ℝ + , a ≠ 1) Beweisski zze : (1) f(x + h) – f(x) __ h = ex + h – ex __ h = ex · eh – ex __ h = e x · e h – 1 _ h Man kann zeigen (vgl. die nebenstehende Tabelle): lim h ¥ 0 e h – 1 _ h = 1 Damit erhalten wir: f’(x) = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) __ h = e x · 1 = ex (2) f(x) = a x= 2 e ln(a) 3 x= e ln(a) · x Nach der Ableitungsregel für f(k · x) ergibt sich: f ’(x) = e ln(a) · x· ln(a) = 2 e ln(a) 3 x· ln(a) = a x· ln(a) 7. 06 Ermittle f’(x)! a) f(x) = x 2– 2 · e x b) f(x) = e – x c) f(x) = e 2x lösung: a) f’(x) = 2x – 2e x= 2 · (x – e x) b) f’(x) = e – x· (–1) = – e – x c) f’(x) = e 2x · 2 = 2 · e 2x 7. 07 Ermittle f’(x)! a) f(x) = – 3 · 2 x b) f(x) = 5 · 2 – x lösung: a) f’(x) = – 3 · 2 x · ln2 ≈ – 2,079 · 2 x b) f’(x) = 5 · 2 – x · ln2 · (–1) ≈ – 3,466 · 2 – x R R R h e h – 1 _ h 0,1 1,051709181… 0,01 1,005016708… 0,001 1,000500167… 0,0001 1,000050000… Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv
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