139 seMesterchecK 3 abfallverwertung In einer Kartonagenfabrik entstehen auf einer Produktionsstraße lauter gleichartige Abfälle. Jedes Abfallstück hat die unten dargestellte Form eines Trapezes mit den Abmessungen a, c und h (a, c und h > 0 und a º c). Die Abfälle sollen weiterverwertet werden. Dazu wird durch zwei Schnitte, die normal zueinander verlaufen, aus jedem Abfallstück ein rechteckiger Streifen wie abgebildet herausgeschnitten. Den Quotienten aus dem Flächeninhalt des so erzeugten Rechtecks und dem Flächeninhalt des trapezförmigen Abfallstücks bezeichnen wir im Folgenden als den zugehörigen verwertungsgrad. a) Sei x die Länge der Seite des erzeugten Rechtecks wie oben dargestellt. Zeige, dass für die Länge y der anderen Seite des erzeugten Rechtecks gilt: y = h _ a – c· (a – x)! Zeige, dass für den Flächeninhalt A(x) des erzeugten Rechtecks in Abhängigkeit von x gilt: A(x) = h _ a – c · (ax – x 2) mit c ª x ª a! b) In der Produktion fallen Abfallstücke mit den Abmessungen a = 100 cm, c = 40 cm und h = 50 cm an. Berechne die Abmessungen x und y des inhaltsgrößten Rechtecks, das man auf die angegebene Art aus einem solchen Abfallstück herausschneiden kann! Berechne den zugehörigen verwertungsgrad in Prozent! c) Die Fertigung auf der Produktionsstraße wird geändert. Jetzt fallen Abfallstücke mit den Abmessungen a = 100 cm, c = 60 cm und h = 50 cm an. Berechne die Abmessungen x und y des inhaltsgrößten Rechtecks, das man auf die angegebene Art aus einem derartigen Abfallstück erzeugen kann! Berechne den zugehörigen verwertungsgrad in Prozent! d) Zeige: Die Abmessungen des inhaltsgrößten Rechtecks, das man auf die angegebene Art herstellen kann, lauten: { x = a _ 2 und y = a · h __ 2 · (a – c) für 0 < c ª a _ 2 x = c und y = h für a _ 2< c ª a Wir nehmen im Folgenden an, dass für die Abmessungen eines Abfallstücks 0 < c ª a _ 2 gilt. – Z eige, dass der maximale verwertungsgrad v maxeines solchen Abfallstücks nur von a und c, aber nicht von h abhängt! Gib eine Formel für v maxan! – Begründe, dass der maximale verwertungsgrad v maxeines solchen Abfallstücks mindestens 50% betragen muss, aber nicht mehr als 66 2 _ 3% betragen kann! ag-R 2 .1 ag-R 2 . 2 ag-R 2 . 4 aN-R 1 .1 aN-R 2 .1 aN- l 3 . 4 a c h y x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=