138 seMesterchecK 2 Bambuswachstum Bambus gehört zu den am schnellsten wachsenden Pflanzenarten. In einem botanischen Garten wird ein Bambussetzling ausgepflanzt und die höhe dieser Pflanze während eines halbjahres laufend registriert. Wir verwenden folgende Bezeichnungen: h(t) = Pflanzenhöhe zum Zeitpunkt t (t in Tagen, h(t) in cm) v(t) = Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanzenhöhe zum Zeitpunkt t (t in Tagen, v(t) in cm/Tag) Auf Grund der erhobenen Daten kann v(t) annähernd so beschrieben werden: v(t) = 0,00004 · t 3– 0,0144 · t 2+ 1,296 · t für t * [0; 180] Der Graph der Funktion v: t ¦ v(t) ist in der folgenden Abbildung dargestellt. a) Gib an, wie die Wachstumsgeschwindigkeit der höhe h zum Zeitpunkt t definiert ist! Formuliere diese Definition auch in der Leibniz’schen Schreibweise! Berechne alle Nullstellen der Funktion v und interpretiere diese im Sachzusammenhang! b) Definiere den Begriff „mittlere Wachstumsbeschleunigung _ a(t, z) der Pflanzenhöhe h im Zeitintervall [t; z]“ und berechne die mittlere Wachstumsbeschleunigung im Zeitintervall [70; 130]! Ermittle die Steigung des Graphen von v an der Stelle t = 20 zuerst näherungsweise anhand der obigen Abbildung und anschließend etwas genauer durch Rechnung! Gib an, welche Bezeichnungen für diese Steigung im Sachzusammenhang üblich sind! c) Berechne den Zeitpunkt t 1 , zu dem die Pflanze die größte Wachstumsgeschwindigkeit im Zeitintervall [0; 180] erreicht! Zeige, dass die Funktion v im Zeitintervall (0; 180) genau eine Wendestelle t 2besitzt, und gib die Wendestelle t 2 an! Berechne v(t 2) und v’(t 2)! Erläutere die Bedeutung von t 2 , v(t 2 ) und v’(t 2 ) im Sachzusammenhang! d) Die Pflanzenhöhe h(0) beim Aussetzen beträgt 15 cm. Gib den Typ der Funktion h: t ¦ h(t) an, ermittle die Monotonie- und Krümmungsbereiche von h und skizziere die ungefähre Form des Graphen von h! Beschrifte die Randstellen dieser Bereiche! Man sagt: In einem Zeitintervall liegt ein verzögertes Wachstum vor, wenn die Wachstumsgeschwindigkeit abnimmt. Charakterisiere den Begriff „verzögertes Wachstum“ mit hilfe der Funktion h und ihrer Ableitungen und gib das längste Zeitintervall an, in dem die Pflanze ein solches verzögertes Wachstum aufweist! ag-R 2 . 3 Fa-R 1 . 5 aN-R 1 . 3 aN-R 2 .1 t v(t) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 5 10 15 20 25 30 35 40 0 v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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