129 KoMpetenzcheck aUFgaBeN VOM tyP 2 6 . 24 Knotenparabel Die abgebildete Kurve k ist Teil einer so genannten Knotenparabel (parabola nodata). Sie besitzt die Parameterdarstellung: X(t) = 2 t 2 1 t _ 4 · (4 – t 2) 3 mit t * [– 3; 3]. a) Gib die Parameterwerte an, die zu den Punkten A, B, C, D, E und F gehören! Gib die kartesischen Koordinaten des Anfangs- und Endpunkts der Kurve k an! b) Zeige: Die Kurve k kann durch die Gleichung y 2 = x _ 16· (4 – x) 2für 0 ª x ª 9 beschrieben werden. Zerlege die Kurve k in zwei Funktionsgraphen und gib Termdarstellungen der zugehörigen Funktionen an! c) Man kann zeigen: Ist X(t) = (x(t) 1 y(t)) eine Parameterdarstellung der Knotenparabel, dann ist der aus den Ableitungen bestehende vektor _ À t = (˙ x(t) 1 ˙ y(t)) ein Tangentenvektor im Punkt X(t). Gib eine Formel für _ À tan! Ermittle die Tangentenvektoren der Kurve k im Kreuzungspunkt der Kurve und zeichne die Tangenten in die Abbildung ein! 6 . 25 Kardioide Die Abbildung zeigt eine spezielle Kardioide (herzkurve) mit der Parameterdarstellung X(t) = (4 · (1 – cos(t)) · cos(t) 1 4 · (1 – cos(t)) · sin(t)) für 0 ª t < 2 π. a) Berechne für diese Kardioide die Parameterwerte der Punkte auf den Koordinatenachsen! Gib die kartesischen Koordinaten dieser Punkte an! b) Zeige, dass für den Abstand r des Punktes X(t) vom Ursprung O = (0 1 0) gilt: r = 4 · (1 – cos(t)) Berechne die kartesischen Koordinaten des Punktes auf der Kardioide, der von O den größten Abstand hat! c) Zeige, dass die Kardioide durch die Gleichung (x 2+ y 2) 2+ 8x · (x 2+ y 2) – 16y 2= 0 beschrieben werden kann. Setze dazu in der Gleichung r = 4 · (1 – cos(t)) für r und cos(t) ein: r = 9 ____ x 2+ y 2 und cos(t) = x _ r = x __ 9 ____ x 2+ y 2 Allgemein besitzt eine Kardioide die folgende Parameterdarstellung: X(t) = (2a · (1 – cos(t)) · cos(t) 1 2a · (1 – cos(t)) · sin(t)) für a * ℝ +und 0 ª t < 2 π Beschreibe mit Technologiehilfe, wie sich die Kardioide ändert, wenn a wächst! x y E D C B F A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 – 3 – 2 – 1 0 x x r t y y 1 – 8 – 6 – 4 – 2 1 2 3 4 5 – 4 – 2 0 X(t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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