124 6 KUrven 6 .10 Eine Kreisscheibe mit dem Radius r befinde sich im Inneren eines größeren Kreises mit dem Radius R und rolle ohne zu gleiten auf diesem größeren Kreis ab. Dabei beschreibt ein Punkt X, der mit der Kreisscheibe fest verbunden ist, eine Kurve, die man hypozykloide (inradlinie) nennt. Je nach dem Abstand d des Punktes X vom Mittelpunkt der Kreisscheibe hat die hypozykloide verschiedene Formen: gestreckte hypozykloide gespitzte hypozykloide geschlungene hypozykloide Man kann zeigen, dass eine hypozykloide die folgende Parameterdarstellung besitzt: X(t) = 2 (R – r) · cos(t) + d · cos 2 R – r _ r · t 3 1 (R – r) · sin(t) + d · sin 2 R – r _ r · t 3 3 mit t * ℝ Ist das verhältnis R : r ganzzahlig, dann schließt sich die Kurve nach einem Umlauf des kleinen Kreises längs des großen Kreises. Ist R : r rational, aber nicht ganzzahlig, dann schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umläufen. Ist R : r irrational, schließt sich die Kurve nie. a) Betrachte mit Technologieeinsatz Zykloiden mit selbst gewählten Werten für R, r und d! b) Beschreibe mit Technologieeinsatz die Formen von hypozykloiden in folgenden Schritten: 1) d = 0. variiere R und r! 2) R = 2r. variiere r und d! 3) R : r = n * N*. variiere d! 6 .11 Eine Kreisscheibe mit dem Radius r befinde sich im Äußeren eines größeren Kreises mit dem Radius R und rolle ohne zu gleiten auf diesem größeren Kreis ab. Dabei beschreibt ein Punkt X, der mit der Kreisscheibe fest verbunden ist, eine Kurve, die man epizykloide (aufradlinie) nennt. Abhängig vom Abstand d des Punktes X vom Mittelpunkt der Kreisscheibe hat die Epizykloide verschiedene Formen: gestreckte epizykloide gespitzte epizykloide geschlungene epizykloide Man kann zeigen, dass eine Epizykloide die folgende Parameterdarstellung besitzt: X(t) = 2 (R + r) · cos(t) – d · cos 2 R + r _ r · t 3 1 (R + r) · sin(t) – d · sin 2 R + r _ r · t 3 3 mit t * ℝ Ist das verhältnis R : r ganzzahlig, dann schließt sich die Kurve nach einem Umlauf des kleinen Kreises längs des großen Kreises. Ist R : r rational, aber nicht ganzzahlig, dann schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umläufen. Ist R : r irrational, schließt sich die Kurve nie. a) Setze R = 5, r = 1 und 0 ª d ª 5! Beschreibe mit hilfe von Technologie, wie sich die Zykloide bei vergrößerung von d ändert! b) Betrachte mit Technologieeinsatz Zykloiden mit selbst gewählten Werten für R, r und d! Ó applet f87t85 x R y 0 d < r X M x y d = r X M 0 R x y R d > r X M 0 Ó applet px76hv x y d < r X M 0 R x y 0 d = r X M R x y 0 d > r X M R Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
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