123 6 .1 KUrven in Der eBene 6 . 08 Kurven mit der Parameterdarstellung X(t) = (r1 · sin(a · t + c) 1 r2 · sin(b · t + d)) mit r1 , r2 , a, b * ℝ +und c, d * ℝ sowie t * ℝ 0 + heißen lissajouskurven. Wir setzen im Folgenden der Einfachheit halber r1 = r2 = 4 und c = d = 0, dh. betrachten Lissajouskurven mit der Parameterdarstellung X(t) = (4 · sin(a · t) 1 4 · sin(b · t)) mit a, b * Z+ und t * [0; 2 π). 1) Betrachte zunächst die Kurven mit den in der Tabelle angegebenen Werten von a und b. Stelle eine vermutung auf, wovon die Form der entstehenden Kurve abhängt! a 1 2 3 2 4 6 3 6 9 4 8 12 b 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2) Ergibt sich für a = 2 und b = 8 dieselbe Kurve wie für a = 8 und b = 2? Wenn nicht, worin unterscheiden sich die beiden Kurven? 3) Ein harmonograph ist ein mechanisches Gerät, mit dem man zwei normal zueinander erfolgende harmonische Schwingungen in eine Lissajouskurve umsetzen kann. Die Abbildung zeigt ein einfaches Gerät dieser Art. Ein an einer Schnur hängender Becher ist mit Sand gefüllt und enthält an der Unterseite ein kleines Loch. Führt der Becher eine harmonische Schwingung in x-Richtung und gleichzeitig die Unterlage eine harmonische Schwingung in der dazu normalen y-Richtung aus, überlagern sich die beiden Schwingungen und der aus dem Loch rieselnde Sand zeichnet eine Kurve auf der Unterlage. Begründe, dass diese Kurve eine Lissajouskurve ist! 6 . 09 Eine Kreisscheibe mit dem Radius r rollt ohne zu gleiten auf einer Geraden ab (wie zB. ein Rad auf einer geradlinigen Straße). Dabei durchläuft ein Punkt X, der mit der Kreisscheibe fest verbunden ist, eine Kurve, die man zykloide nennt. Abhängig vom Abstand d des Punktes X vom Mittelpunkt M der Kreisscheibe hat die Zykloide verschiedene Formen. gestreckte zykloide gespitzte zykloide geschlungene zykloide Man kann zeigen, dass eine Zykloide die folgende Parameterdarstellung besitzt: X(t) = (r · t – d · sin(t) 1 r – d · cos(t)) mit r * ℝ +, d * ℝ 0 +und t * ℝ a) Setze r = 3 und 0 ª d ª 6! Beschreibe mit Technologieeinsatz, wie sich die Zykloide bei vergrößerung von d ändert! b) Ordne ohne verwendung von Technologie jeder Parameterdarstellung in der linken Tabelle die entsprechende Kurve aus der rechten Tabelle zu! X(t) = (4 · t – 3 · sin(t) 1 4 – 3 · cos(t)) B gestreckte Zykloide X(t) = (3 · t – 4 · sin(t) 1 3 – 4 · cos(t)) C gespitzte Zykloide X(t) = (3 · t – 3 · sin(t) 1 3 – 3 · cos(t)) D geschlungene Zykloide Ó applet 7y98tc Ó applet vt68k4 x y d < r X M 0 2 r π x y X 2 r π 0 M d = r x y 0 d > r 2 r π X M Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum d s Verlags öbv
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