122 6 KUrven 6 . 02 Die folgende Punktmenge ist der Graph einer reellen Funktion f. Gib die Definitionsmenge und eine Funktionsgleichung von f an! a) {X * R2 ‡ X = (2t 1 t3 – 2) ? t * R} d) {X * R2 ‡ X = (2t + 1 1 t2 + 1) ? t * R} b) {X * R2 ‡ X = (t 1 t2 + 1) ? t * R} e) {X * R2 ‡ X = (t – 5 1 9_ t) ? t * R 0 +} c) {X * R2 ‡ X = (4t – 1 1 2t + 5) ? t * R} f) { X * R2 ‡ X = 2 t2 + 4 _ 2 1 t 3 ? t * R 0 + } hinWeis zu a): Es gilt x = 2t und y = t3 – 2. Aus der ersten Gleichung ergibt sich t = x _ 2. Einsetzen in die zweite Gleichung liefert die Funktionsgleichung y = x 3 _ 8– 2. 6 . 03 Gib eine Gleichung des Kreises an, der folgende Parameterdarstellung hat! a) X(t) = (3 · cos(t) 1 3 · sin(t)) mit t * [0; 2 π) b) X(t) = ( 9__ 10· cos(t) 1 9__ 10· sin(t)) mit t * [0; 2 π) 6 . 04 Zeige, dass die ellipse mit der Gleichung b 2x 2+ a 2y 2= a 2b 2durch die Parameterdarstellung X(t) = (a · cos(t) 1 b · sin(t)) mit t * [0; 2 π) beschrieben werden kann! 6 . 05 Zeige, dass die so genannte astroide x 2 _ 3 + y 2 _ 3 = a 2 _ 3 (mit a * R+ ) durch die Parameterdarstellung X(t) = (a · cos 3(t) 1 a · sin 3(t)) mit t * [0; 2 π) beschrieben werden kann! 6 . 06 Gib eine Gleichung der ebenen Kurve an, die folgendermaßen beschrieben werden kann: a) {X(t) * ℝ 2 1 X(t) = (2t 2 1 t) ? t * ℝ} d) {X(t) * ℝ 2 1 X(t) = (4 · cos(t) 1 2 · sin(t)) ? t * ℝ} b) {X(t) * ℝ 2 1 X(t) = (t 2 1 t 3) ? t * ℝ} e) {X(t) * ℝ 2 1 X(t) = (sin(t) 1 cos 2(t)) ? t * ℝ} c) {X(t) * ℝ 2 1 X(t) = (t 2 1 t 2) ? t * ℝ} f) {X(t) * ℝ 2 1 X(t) = (cos 2(t) 1 sin 2(t)) ? t * ℝ} 6 . 07 Kurven mit der Parameterdarstellung X(t) = (r · sin(at) · cos(bt) 1 r · sin(at) · sin(bt)) mit t * [0; 2 π) und r * R+ sowie a, b * Z+ heißen rosenkurven oder rhodoneen. a = 4, b = 1 a = 7, b = 2 a = 11, b = 6 a) Betrachte mit Technologieeinsatz die Rosenkurven mit r = 4 und den in der folgenden Tabelle angegebenen Kombinationen der Werte a und b. Trage jeweils die beobachtete Anzahl n der Rosenblätter ein! a 2 4 6 3 6 9 4 8 12 5 10 15 b 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n b) Stelle eine vermutung auf, wie sich das verhältnis a : b auf die Blätterzahl n auswirkt! c) Zeige durch Umformen der obigen Parameterdarstellung, dass eine Rosenkurve mit a = b stets ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = 2 0 1 r _ 2 3 und dem Radius r _ 2ist! Ó applet p9i2n5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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