121 6 .1 KUrven in Der eBene Die Funktionen t ¦ x(t) und t ¦ y(t) sind im vorliegenden Fall lineare Funktionen. Es spricht aber nichts dagegen, auch nichtlineare Funktionen in t zuzulassen. Dabei liegen die Punkte X(t) im Allgemeinen auf einer „Kurve“ (die keine Gerade sein muss). Allerdings verlangt man von einer Kurve, dass die Funktionen t ¦ x(t) und t ¦ y(t) sog. „stetige Funktionen“ sind. Eine genauere Definition des Begriffs „stetige Funktion“ werden wir erst im Kapitel 8 angeben. vorläufig reicht die vorstellung aus, dass solche Funktionen keine Sprünge machen. Definition Es sei I ein Intervall. Falls die Funktionen t ¦ x(t) und t ¦ y(t) stetig sind, bezeichnet man die Punktmenge k = {X(t) * ℝ 2 ‡ t * i} = {(x(t) 1 y(t)) * ℝ 2 ‡ t * i} als Kurve in ℝ 2. Die Gleichung X(t) = (x(t) 1 y(t)) bezeichnet man als Parameterdarstellung der Kurve k. Durch die Parameterdarstellung von k wird jedem Parameterwert t * I genau ein Punkt X(t) der Kurve k in ℝ 2zugeordnet. Man kann sich unter t die Zeit vorstellen. Durchläuft t das Zeitintervall I = [a; b], so durchläuft der Punkt X(t) die Kurve vom Anfangspunkt A = X(a) bis zum Endpunkt B = X(b). Falls I = (– •; b], I = [a; •) bzw. I = ℝ ist, hat die Kurve keinen Anfangs- bzw. Endpunkt. Es kann vorkommen, dass verschiedenen Parameterwerten derselbe Punkt auf der Kurve zugeordnet wird. In solchen Punkten schneidet sich die Kurve selbst. Beispiel: Parameterdarstellung eines Kreises Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius r. Der Punkt X(t) durchlaufe den Kreis einmal im Gegenuhrzeigersinn. Wir nehmen als Parameter das Bogenmaß t des zu X(t) gehörigen Drehwinkels (siehe die Abbildung). Damit erhalten wir folgende Parameterdarstellung des Kreises: X(t) = (r · cos(t) 1 r · sin(t)) mit t * [0; 2 π) Der Kreis k kann als Punktmenge so dargestellt werden: k = {X * ℝ 2 ‡ X = (r · cos(t) 1 r · sin(t)) ? t * [0; 2 π)} = = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ x = r · cos(t) ? y = r · sin(t) ? t * [0; 2 π)} aUFgaBen 6 . 01 Jede der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kurve in der Ebene. Stelle die Kurve mit Technologieeinsatz dar! Untersuche, ob die Kurve der Graph einer reellen Funktion x ¦ f(x) ist bzw. ob sie zumindest aus den Graphen zweier reeller Funktionen x ¦ f 1(x) und x ¦ f 2(x) zusammengesetzt werden kann! a) x(x 2+ y 2) – 8y 2= 0 b) 9x 2– x 3– 16y 2= 0 c) (x 2– 9)(x – 3) 2 + (y 2– 9) 2= 0 Ó applet 8ux6dd 0 x y X (t) B = X (b) A = X (a) b a i t x y 0 X(t) = sin(t) cos(t) t r 2 r · cos(t) r · sin(t) 3 L kompakt seite 127 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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