114 5 ell ipse , hyperbel und Parabel 5 . 4 Kegelschnitte ebene schnitte eines Doppelkegels In diesem Abschnitt wird erläutert, warum man Ellipse, hyperbel und Parabel als Kegelschnitte bezeichnet. Sei a eine Gerade im Raum und S ein Punkt auf a. Alle Geraden, die durch den Punkt S gehen und mit der Geraden a einen Winkel vom Maß α einschließen, bilden eine unbegrenzte Fläche, die man als Doppelkegel bezeichnet. Die Gerade a heißt Achse dieses Doppelkegels. Die Geraden, aus denen der Doppelkegel besteht, heißen Erzeugende bzw. Mantellinien des Doppelkegels. Der Punkt S heißt Spitze des Doppelkegels. Schneidet man einen solchen Doppelkegel mit einer Ebene E, die nicht durch die Spitze S geht, erhält man je nach Lage der Ebene verschiedene Schnittkurven, die in den folgenden Abbildungen dargestellt sind. Abb. 5.1 a Abb. 5.1 b Abb. 5.1 c Man kann beweisen: Die Schnittkurve in Abb. 5.1 a ist eine ellipse. (Falls die Ebene normal zur Achse ist, erhält man als Sonderfall einen Kreis.) Die Schnittkurve in Abb. 5.1 b ist eine Parabel. (In diesem Fall ist die Ebene parallel zu einer Erzeugenden des Doppelkegels.) Die Schnittkurve in Abb. 5.1 c ist eine hyperbel. Die scheitelgleichung der Kegelschnitte Man kann zeigen, dass Ellipse, hyperbel und Parabel sich durch eine einheitliche Gleichung beschreiben lassen, wenn man einen Scheitel wie in der folgenden Abbildung in den Ursprung legt: satz (scheitelgleichung der Kegelschnitte) Die Gleichung y 2= 2px + ( ε 2– 1) · x 2 (mit p * R+, ε * R 0 +) stellt für ε < 1 eine ellipse, für ε = 1 eine Parabel, für ε > 1 eine hyperbel dar. Dabei ist ε die numerische exzentrizität des betreffenden Kegelschnitts. Für die Ellipse ist ε = e _ a< 1, für die hyperbel ist ε = e _ a> 1. Für ε = 1 ergibt sich y 2 = 2px, also eine Gleichung einer Parabel in 1. hauptlage. L a S α α α Ó applet 9f566x E E E L y x ε > 1 hyperbel ε = 1 Parabel ε < 1 Ellipse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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