113 5 . 3 Die Parabel tangente in einem Punkt einer Parabel Definition Eine Gerade t, die mit einer Parabel nur einen Punkt T gemeinsam hat und nicht parallel zur Achse der Parabel ist, bezeichnet man als tangente an die Parabel im Punkt T. satz (spaltform der tangentengleichung einer Parabel) Eine gleichung der tangente in einem Punkt t = (x t 1 y t) der Parabel y 2= 2px lautet: y t · y = p · x + p · x t Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man sich die Parabelgleichung y 2 = 2px in der Form y 2= p · x + p · x geschrieben denkt und folgende „Aufspaltungen“ vornimmt: par: y 2 = p · x + p · x 1223425 t : y T · y = p · x T+ p · x 1223425 1223425 Ein Beweis dieser Spaltform findet sich im Anhang auf Seite 260. aufgaben 5 . 61 Ermittle eine Gleichung der Tangente der Parabel par im Punkt T der Parabel! a) par: y2 = 5x, T = (5 1 t 2) mit t2 > 0 d) par: 2y 2 = 3x, T = (t 1 1 3) b) par: y2 = 4x, T = (9 1 t 2) mit t2 > 0 e) par: y 2 = x, T = (t 1 1 – 9) c) par: y2 – 2x = 0, T = (32 1 t 2) mit t2 < 0 f) par: y 2 – 2x = 0, T = (t 1 1 18) 5 . 62 von einer Parabel in 1. hauptlage kennt man den Punkt P = (6 1 6). 1) Gib eine Gleichung der Tangente der Parabel im Punkt P an! 2) Berechne die Schnittpunkte dieser Tangente mit der 2. Achse und der Leitlinie der Parabel! 5 . 63 Ermittle eine Gleichung der Parabel par in 1. hauptlage durch den Punkt P = (1,5 1 6) sowie eine Gleichung der Tangente t in P! Gib die Koordinaten des Schnittpunkts L dieser Tangente mit der Leitlinie der Parabel an und zeige, dass die Normale auf t durch L ebenfalls Tangente von par ist! 5 . 64 von einer Parabel in 1. hauptlage kennt man den Punkt P = (4 1 4). Der Punkt P’ liegt symmetrisch zu P bezüglich der Parabelachse. 1) Gib Gleichungen der Tangenten an die Parabel in den Punkten P und P’ an! 2) Berechne den Schnittpunkt S dieser beiden Tangenten! 3) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PSP’! 5 . 65 Die Punkte P und P’ liegen auf der Parabel par symmetrisch zur Parabelachse. Berechne den Schnittpunkt S der Parabeltangenten in P und P’ und zeige, dass der Brennpunkt F der Parabel der Umkreismittelpunkt des Dreiecks PP’S ist! a) par: y 2= 48x, P = (3 1 p 2), P’ = (3 1 – p 2) b) par: y 2= 2x, P = (8 1 p 2), P’ = (8 1 – p 2) 5 . 66 Ermittle zur Parabel y2 = 2px eine Gleichung der Tangente im Parabelpunkt P = (p 1 1 p2) und zeige, dass diese die Koordinatenachsen in den Punkten (–p1 1 0) und 2 0 1 p 2 _ 2 3schneidet! L 0 T t L kompakt seite 115 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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