109 5 . 2 Die hyperbel tangente in einem Punkt t einer hyperbel Definition Eine Gerade t, die mit einer hyperbel nur den Punkt T gemeinsam hat und nicht parallel zu einer Asymptote ist, bezeichnet man als tangente an die hyperbel im Punkt T. Analog zur Ellipse kann man beweisen: satz (spaltform der tangentengleichung) Eine gleichung der tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) der hyperbel b 2 x 2– a 2 y 2= a 2 b 2lautet: b 2 x tx – a 2 y ty = a 2 b 2 Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man in der hyperbelgleichung die Quadrate x 2und y 2folgendermaßen „aufspaltet“: hyp: b 2· x 2 – a 2· y 2 = a 2 b 2 t: b 2· x T· x – a 2· y T· y = a 2 b 2 1223425 1223425 aufgaben 5 . 39 Gib eine Gleichung der Tangente t im Punkt T der hyperbel hyp an! a) hyp: x2 – 3y2 = 6, T = (3 1 t 2) mit t2 > 0 d) hyp: 2x 2 – 3y2 = 45, T = (t 1 1 3) mit t1 < 0 b) hyp: 5x2 – 2y2 = 18, T = (6 1 t 2) mit t2 < 0 e) hyp: 3x 2 – 4y2 = 176, T = (t 1 1 2) mit t1 > 0 c) hyp: 9x2 – 4y2 = 128, T = (– 4 1 t 2) mit t2 < 0 f) hyp: 4x 2 – 9y2 = 36, T = (t 1 1 0) mit t1 > 0 5 . 40 Gib Gleichungen der Tangenten der Hyperbel hyp: 9x 2– 16y 2= 144 in den hauptscheiteln A und A’ an! 5 . 41 von einer hyperbel in 1. hauptlage kennt man die Punkte P und Q. Die Tangente in P schneidet die Asymptoten in den Punkten P 1und P 2 , die Tangente in Q in den Punkten Q 1und Q 2 . Zeige, dass die Punkte P 1 , P 2 , Q 1und Q 2Eckpunkte eines Trapezes sind, und berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes! a) P = (3 1 – 2), Q = (4,5 1 7) b) P = (–7 1 1), Q = (8 1 4) c) P = (5 1 3), Q = (7 1 –15) 5 . 42 Welche Beziehung muss zwischen a, b, k und d bestehen, damit die Gerade g: y = k · x + d Tangente der hyperbel hyp: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 ist? 5 . 43 Zeige, dass die Tangente im hyperbelpunkt P eine Winkelsymmetrale der Geraden PF und PF’ ist! a) hyp: 3x2 – 2y2 = 30, P = (4 1 3) b) hyp: 4x2 – y2 = 80, P = (6 1 – 8) 5 . 44 Die Tangente im Punkt P der gegebenen hyperbel b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 schneidet die 1. Achse in einem Punkt T1 und die 2. Achse in einem Punkt T2 . Die Normale auf die Tangente durch den Punkt P schneidet die 1. Achse in einem Punkt N1 und die 2. Achse in N2 . Zeige, dass P die Strecke N1N2 im verhältnis b 2 : a2 teilt! Zeige weiters, dass die Punkte P, T 2 , N2 und die Brennpunkte F und F’ auf einem Kreis liegen! a) hyp: x2 – 2y2 = 14, P = (4 1 1) b) hyp: 3x2 – 4y2 = 156, P = (8 1 3) c) hyp: x2 – y2 = 12, P = (4 1 2) L t T L kompakt seite 115 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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