108 5 ell ipse , hyperbel und Parabel satz Die Äste einer hyperbel kommen den Asymptoten beliebig nahe, ohne diese jemals zu berühren. BeWeis : Wir zeigen dies für den im 1. Quadranten liegenden Teil der hyperbel. Aus Symmetriegründen muss die Behauptung dann auch in den anderen Quadranten gelten. Es sei X = (x 1 y) ein Punkt der hyperbel hyp im 1. Quadranten und _ X= (x 1 _ y) der zu X gehörige Punkt auf der Asymptote u (siehe die Abbildung). Wegen X * hyp gilt b 2x 2– a 2y 2= a 2b 2 bzw. y = b _ a· 9 ____ x 2– a 2und wegen _ X* u gilt _ y= b _ a· x. Daraus folgt: _ y– y = b _ a· 2 x – 9 ____ x 2– a 2 3 = b _ a· 2 x – 9 ______ x 2· 2 1 – a 2 _ x 2 3 3 = b _ a· 2 x – x · 9 ___ 1 – a 2 _ x 2 3 Mit wachsendem x nähert sich a 2 _ x 2 unbegrenzt der Zahl 0, ohne jemals gleich 0 zu werden. Damit nähert sich der Ausdruck in der letzten Klammer und somit auch der Abstand _ y– y unbegrenzt der Zahl 0, ohne jemals gleich 0 zu werden. aufgaben 5 . 34 Gib Gleichungen der Asymptoten der folgenden hyperbel an! a) 9x2 – 25y2 = 900 b) 2x2 – 8y2 = 1 c) 3x2 – 6y2 = 1 d) x2 – y2 = 25 5 . 35 von einer hyperbel in 1. hauptlage kennt man eine Gleichung einer Asymptote und eine halbachsenlänge. Ermittle eine Gleichung der hyperbel! a) 4x – 3y = 0, a = 2 b) 2x + y = 0, a = 4 c) 3x + 2y = 0, b = 6 d) x – y = 0, b = 4 schnitt von hyperbel und gerade Zur Berechnung von Schnittpunkten geht man analog zur Ellipse vor. aufgaben 5 . 36 Berechne die Schnittpunkte der hyperbel hyp und der Geraden g! a) hyp: 8x 2– 5y 2= 108, g: 2x – y = 6 b) hyp: 5x 2– 2y 2= 27, g: 5x + 4y = –3 c) hyp: 4x 2– 3y 2= 88, g = PQ mit P = (– 8 1 – 4), Q = (10 1 8) d) hyp: 2x 2– 3y 2= 45 , g = PQ mit P = (3 1 – 3), Q = (– 9 1 5) 5 . 37 Die Gerade g schneidet die hyperbel hyp in zwei Punkten P und Q und die Asymptoten der hyperbel in zwei Punkten S1 und S2 . Zeige, dass _ PS 1= _ QS 2ist! a) hyp: 4x2 – y2 = 192, g: 2x + 3y = 8 c) hyp: x2 – 4y2 = 33, g: 3x – 5y = 11 b) hyp: 9x2 – y2 = 135, g: 2x – y = 5 d) hyp: x2 – y2 = 63, g: 2x + 5y = 21 5 . 38 Für welche a * R hat die Gerade g mit der hyperbel hyp zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit hyp genau einen Punkt gemeinsam hat, gib diesen Punkt an! a) g: ax + 2y = 12, hyp: 3x2 – 4y2 = 72 c) g: ax – 7y = 43, hyp: 2x2 – 7y2 = 43 b) g: 10x – ay = 2, hyp: 5x2 – 2y2 = 2 d) g: ax + 3y = 2, hyp: x2 – 3y2 = 2 y y x X X b v u a L L kompakt seite 115 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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