106 5 ell ipse , hyperbel und Parabel Folgende Namen sind üblich: F und F’ …… Brennpunkte strecke aa’ …… hauptachse M …… Mittelpunkt strecke BB’ …… Nebenachse a und a’ …… hauptscheitel _ aa’= 2a …… hauptachsenlänge B und B’ …… Nebenscheitel _ BB’= 2b …… Nebenachsenlänge _ Ma= _ Ma’= a und _ MB= _ MB’= b …… halbachsenlängen _ MF= _ MF’= e …… Brennweite oder lineare exzentrizität Bemerkung: Obwohl die Punkte B und B’ nicht auf der hyperbel liegen, bezeichnet man sie in Analogie zur Ellipse als Nebenscheitel der hyperbel. Das achsenparallele Rechteck durch A, A’, B und B’ nennt man achsenrechteck der hyperbel, die Diagonalgeraden dieses Rechtecks heißen asymptoten der hyperbel. Aus der letzten Abbildung erkennt man: satz Für eine hyperbel mit den halbachsenlängen a und b und der Brennweite e gilt: e 2= a 2+ b 2 Beachte: Im Gegensatz zur Ellipse muss bei einer hyperbel nicht unbedingt b ª a gelten. gleichung einer hyperbel Wie bei Ellipsen bezeichnet man eine hyperbel als hyperbel in 1. hauptlage (2. hauptlage), wenn die Brennpunkte F und F’ auf der 1. Achse (2. Achse) liegen. Beachte : Wir behandeln im Folgenden ausschließlich hyperbeln in 1. hauptlage. In der folgenden Abbildung ist eine hyperbel in 1. hauptlage dargestellt. A = (a 1 0) A’ = (– a 1 0) B = (0 1 b) B’ = (0 1 –b) F = (e 1 0) F’ = (– e 1 0) Analog zur Ellipse kann man eine Gleichung für eine solche hyperbel herleiten: satz (gleichung einer hyperbel in 1. hauptlage) Für eine hyperbel hyp in 1. hauptlage mit den halbachsenlängen a und b gilt: (x 1 y) * hyp É b 2x 2– a 2 y 2= a 2 b 2 É x 2 _ a 2 – y 2 _ b 2 = 1 Eine solche hyperbel kann als Punktmenge so dargestellt werden: hyperbel in ℝ 2 in 1. hauptlage = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ b 2 x 2– a 2 y 2= a 2 b 2} = { (x 1 y) * ℝ 2 ‡ x 2 _ a 2 – y 2 _ b 2 = 1 } L a e F' F B y x X b B' A' M A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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