105 5 . 2 Die hyperbel 5 . 2 Die hyperbel Definition der hyperbel Eine hyperbel ist ähnlich definiert wie eine Ellipse, nur betrachtet man anstelle der Summe der Abstände _ FXund _ F’Xderen Differenz. Eine hyperbel besteht aus zwei Ästen. Für alle Punkte X auf dem linken Ast ist _ FX– _ F’Xkonstant (= 2a < _ FF’). Für alle Punkte X auf dem rechten Ast ist _ F’X– _ FXkonstant (= 2a < _ FF’). Für jeden Punkt X auf einem der beiden Äste ist † _ FX– _ F’X †konstant (= 2a < _ FF’). Definition Eine hyperbel hyp ist die Menge aller Punkte einer Ebene, für die der Unterschied (Betrag der Differenz) der Abstände von zwei gegebenen Punkten F und F’ konstant (= 2a < _ FF’) ist. hyp = {X * ℝ 2 ‡ † _ FX– _ F’X † = 2a} Konstruktion einer hyperbel mit zirkel und lineal Eine hyperbel hyp = {X * ℝ 2 ‡ † _ FX– _ F’X †= 2a} kann man so konstruieren: Zeichne die Punkte F und F’! Zeichne eine hilfsstrecke Uv der Länge 2a! Wähle auf der verlängerung dieser Strecke einen Punkt T (nicht zu nahe an v)! Man erhält zwei Strecken vT und UT mit den Längen d und 2a + d. Schlage diese beiden Längen jeweils von F und von F’ aus mit dem Zirkel ab! Man erhält vier Schnittpunkte X, X’, Y, Y’. Für jeden dieser Schnittpunkte ist der Betrag der Differenz der Abstände von F und F’ gleich † (2a + d) – d †= 2a. Diese vier Punkte liegen also auf der hyperbel. Konstruiere für andere Lagen des Teilungspunkte T analog weitere hyperbelpunkte! Bezeichnungen bei einer hyperbel Wir bezeichnen den Mittelpunkt der Strecke FF’ mit M und setzen _ MF= _ MF’= e. Die Punkte auf der Geraden FF’, die von M den Abstand a haben, bezeichnen wir mit A und A’. Die Punkte auf der Normalen zu FF’ durch M, die sowohl von A als auch von A’ den Abstand e haben, bezeichnen wir mit B und B’. Schließlich setzen wir _ MB= _ MB’= b. Die Punkte A und A’ liegen auf der hyperbel, denn es gilt: † _ FA– _ F’A † = † (e – a) – (e + a) †= † – 2a †= 2a † _ FA’– _ F’A’ †= † (e + a) – (e – a) †= † 2a † = 2a Die Punkte B und B’ liegen nicht auf der hyperbel, denn es gilt: † _ FB– _ F’B †= 0 ≠ 2a und † _ FB’– _ F ’B’ †= 0 ≠ 2a L y x F' F X X L Ó applet 442k9y v T X y X' y' F' A' M A F d 2a + d U d 2a 2a + d L a a e e F' F X x y v u B b b B' A' M A e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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