103 5 .1 Die ell ipse 5 .15 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g: x + 4y = 14 mit der Ellipse ell: 3x 2+ 8y 2= 140! lösung: Für einen Schnittpunkt X = (x 1 y) muss gelten: { x + 4y = 14 3x 2 + 8y2 = 140 Aus der ersten Gleichung erhält man: x = 14 – 4y Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: 3 · (14 – 4y)2 + 8y2 = 140 vereinfachen dieser Gleichung liefert: y2 – 6y + 8 = 0 (Rechne nach!) Daraus ergibt sich: y = 4 = y = 2 Einsetzen in die erste Gleichung: Für y = 4 erhält man x = –2, für y = 2 erhält man x = 6. Somit lauten die Schnittpunkte: S1 = (– 2 1 4) und S2 = (6 1 2) Mit Technologieeinsatz lassen sich solche Schnittpunktaufgaben ebenso lösen. aufgaben 5 .16 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g und der Ellipse ell! a) g: X = (2 1 3) + t · (4 1 –1), ell: 3x2 + 8y2 = 140 b) g: X = (– 4 1 1) + t · (4 1 –1), ell: 2x2 + 3y2 = 35 c) g: X = (0 1 1) + t · (1 1 0), ell: x2 + 4y2 = 4 d) g: X = t · (1 1 1), ell: 3x2 + 4y2 = 112 e) g: X = (2 1 –1) + t · (3 1 4), ell: 2x2 + 3y2 = 275 f) g: X = (9 1 4) + t · (2 1 3), ell: 3x2 + 5y2 = 152 5 .17 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g und der Ellipse ell! a) g: 2x + y = 10, ell: 4x2 + 9y2 = 340 d) g: 3x + 2y = 18, ell: 3x2 + 4y2 = 108 b) g: x + y = – 9, ell: x2 + 5y2 = 105 e) g: x + 2y = 1, ell: x2 + 4y2 = 25 c) g: 3x + 4y = –12, ell: 9x2 + 16y2 = 3600 f) g: 3x – 2y = 12, ell: 3x2 + 4y2 = 48 5 .18 Die Gerade g schneidet die Ellipse ell in zwei Punkten. Ermittle den Abstand dieser Punkte! a) g: 3x – 2y = 12, ell: 3x2 + 4y2 = 336 b) g: x + 3y = 21, ell: 2x2 + 3y2 = 210 5 .19 Die erste Mediane schneidet die Ellipse ell in zwei Punkten. Ermittle den Abstand dieser Punkte! a) ell: 3x2 + 5y2 = 512 b) ell: x2 + 2y2 = 243 5 . 20 Zeige, dass die Ellipse ell: 4x 2+ 9y 2= 144 und die Gerade g: 2x + 5y = 25 keinen Schnittpunkt besitzen! 5 . 21 Für welche a * R hat die Gerade g mit der Ellipse ell zwei Punkte, genau einen Punkt bzw. keinen Punkt gemeinsam? Falls g mit ell genau einen Punkt gemeinsam hat, gib diesen an! a) g: x – ay = 17, ell: x2 + 4y2 = 17 b) g: – 2x + ay = 20, ell: 4x2 + 25y2 = 200 c) g: x + 9y = 10, ell: x2 + 9y2 = a 5 . 22 Ermittle die gegenseitige Lage der Ellipse ell und der Geraden g! a) ell: x2 + 12y2 = 16, g: x + 2y = 4 d) ell: x2 + 3y2 = 16, g: x + 3y = 8 b) ell: 2x2 + 5y2 = 13, g: 4x + 5y = 13 e) ell: 4x2 + 5y2 = 20, g: 10x – y = – 50 c) ell: 2x2 + 3y2 = 7, g: x + y = 10 f) ell: 4x2 + 9y2 = 36, g: 2x + 3y = 6 kompakt seite 115 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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