102 5 ell ipse , hyperbel und Parabel aufgaben 5 . 09 Ermittle die halbachsenlängen a und b sowie die Brennweite der Ellipse ell! a) ell: 2x2 + 5y2 = 20 d) ell: 3x2 + 7y2 = 84 g) ell: 9x2 + 25y2 = 900 b) ell: 16x2 + 25y2 = 400 e) ell: 4x2 + 9y2 = 324 h) ell: 2x2 + 3y2 = 60 c) ell: 4x2 + 9y2 = 144 f) ell: x2 + 5y2 = 25 i) ell: 3x2 + 4y2 = 36 ellipse durch vorgegebene Punkte 5 .10 Ermittle eine Gleichung der Ellipse ell, die durch die Punkte P = 2 6 1 4 3und Q = 2 8 1 3 3geht! lösung: ell: b 2x 2+ a 2y 2= a 2b 2 P * ell: 36b 2+ 16a 2= a 2 b 2 Q * ell: 64b 2+ 9a 2= a 2b 2 } Löse dieses Gleichungssystem nach a 2und b 2. Es ergibt sich: a 2= 100, b 2= 25 ell: 25x 2+ 100y 2= 2500 | : 25 ell: x 2+ 4y 2= 100 aufgaben 5 .11 Ermittle eine Gleichung der Ellipse in 1. hauptlage, die durch P und Q geht! a) P = (2 1 2), Q = (– 4 1 1) c) P = (– 3 1 –1), Q = (–1 1 – 2) e) P = (6 1 2), Q = (3 1 – 4) b) P = ( 9 _ 6 1 3), Q = (4 1 – 2) d) P = (5 1 0), Q = (0 1 – 2) f) P = (– 3 1 2), Q = (4 1 1,5) 5 .12 Eine Ellipse in 1. hauptlage geht durch die Punkte P und Q. Welche der Punkte R, S und T liegen auf der Ellipse? a) P = (4 1 4), Q = (8 1 – 2), R = (2 1 9 __ 19), S = (– 6 1 9__ 11), T = (7 1 9_ 8) b) P = ( 9__ 21 1 9__ 21), Q = (– 9 1 –1), R = (–7 1 3), S = (6 1 4), T = (3 1 – 5) c) P = (2 1 8), Q = (7 1 7), R = (11 1 5), S = (12 1 4), T = (13 1 3) 5 .13 von einer Ellipse in 1. hauptlage kennt man die Punkte P und Q. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf und berechne jenen Punkt der Ellipse, der im 1. Quadranten liegt und dessen 1. Koordinate das Dreifache seiner 2. Koordinate ist! a) P = (1 1 5), Q = (11 1 –1) b) P = (– 2 1 –10), Q = (– 8 1 8) c) P = (3 1 7), Q = (21 1 1) schnitt von ellipse und gerade 5 .14 Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g: X = (8 1 0) + t · (–4 1 3) mit der Ellipse ell: 9x2 + 16y2 = 360! lösung: Falls es einen Schnittpunkt X = (x 1 y) gibt, liegt dieser auf der Geraden und auf der Ellipse. Wegen X * g gibt es ein t * R, sodass: (x 1 y) = (8 1 0) + t · (– 4 1 3) = (8 – 4t 1 3t) Wegen X * ell muss gelten: 9 · (8 – 4t)2 + 16 · (3t)2 = 360 vereinfachen dieser Gleichung liefert: 4t2 – 8t + 3 = 0 (Rechne nach!) Daraus ergibt sich: t = 3 _ 2 = t = 1 _ 2 Setzt man t = 3 _ 2 bzw. t = 1 _ 2 in die Gleichung (x 1 y) = (8 – 4t 1 3t) ein, erhält man (x 1 y) = (2 1 4,5) bzw. (x 1 y) = (6 1 1,5). Somit lauten die Schnittpunkte: S 1= (2 1 4,5) und S 2= (6 1 1,5) L Ó lernapplet a3925e L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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