2 -2 -4 2 4 6 8 10 -2 -4 4 6 8 10 12 14 16 Malle | Woschi tz | Koth | Salzger Mathematik verstehen Auch mit E-Book+ erhältlich
Mathematik verstehen 7, Schülerbuch Schulbuchnummer 190239 Mathematik verstehen 7, Schülerbuch und E-Book+ Schulbuchnummer 195129 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 16. März 2018, GZ BMB-5.018/0111IT/3/2017, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß dem Lehrplan 2017 als für den Unterrichtsgebrauch für die 7. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2017) geeignet erklärt. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 7. August 2019, GZ BMBWF-5.018/0046Präs/14/2018, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 7. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0004) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2019 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Thi Quach, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung und Layout: DWTC Balgavy, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-09571-8 (Mathematik verstehen OS SB 7) ISBN 978-3-209-10808-1 (Mathematik verstehen OS SB 7 + E-Book+ 7) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Malle | Woschi tz | Koth | Salzger 7 Mathematik verstehen Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Prof. Mag. Dr. Helge Woschitz Prof. Mag. Sonja Malle Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec Die Online-Ergänzung auf www.oebv.at wurde erstellt von: Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Mag. Dr. Christian Dorner Doz. Dr. Franz Embacher MMag. Dr. Andreas Ulovec Prof. Mag. Gerald Puchinger Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wie arbeite ich mit dem Buch? Jedes Kapitel beginnt mit einer aufzählung der lernziele (dunkelblau hinterlegt), die in den einzelnen Abschnitten dieses Kapitels angestrebt werden. Danach folgt eine zusammenstellung der grundkompetenzen (hellblau hinterlegt), die in diesem Kapitel erworben werden sollen. Im Buch wird zwischen Lehrplan L und schriftlicher Reifeprüfung R unterschieden. Die orange Linie am linken Seitenrand zeigt genau an, was für die schriftliche Reifeprüfung relevant ist. Fast jedes Kapitel beinhaltet eine Seite technologie kompakt. Diese Seiten fördern technologiegestütztes Lernen, bieten gezielte Befehle für GeoGebra und Casio Class Pad II und beinhalten zusätzliche Aufgaben für den Technologieeinsatz. Jedes Kapitel endet mit einem Kompetenzcheck, in dem die geforderten Grundkompetenzen durch Aufgaben vom typ 1 und typ 2 überprüft werden. Die zugehörigen Grundkompetenzen stehen jeweils links neben der Aufgabennummer. Am Ende eines Semesters gibt es einen semestercheck mit Aufgaben vom typ 1 und typ 2, die alle geforderten Grundkompetenzen nochmals abprüfen. Das lehrwerk online ist eine Ergänzung zum Schulbuch und bietet nützliche Materialien für den Unterricht. Man kann entweder den Online-Code direkt ins Suchfeld eingeben oder auf der Website direkt beim Lehrwerk auf Lehrwerk-Online klicken. Das verfügbare Online-Material wird laufend ergänzt und aktuell gehalten. Dieses Symbol kennzeichnet Aufgaben oder Stellen, an denen ein technologieeinsatz möglich bzw. empfehlenswert ist. Dieses Symbol verweist auf die technologie kompakt-Seiten, auf denen man kurzgefasste Anleitungen zum Technologieeinsatz von GeoGebra bzw. Casio Class Pad II vorfindet. Symbole dieser Art verweisen auf applets, die zur Erklärung des Stoffes im Unterricht herangezogen und mit dem Programm GeoGebra geöffnet werden können. lernapplets, die zum eigenständigen Erlernen bzw. Festigen grundlegender Inhalte herangezogen werden. arbeitsblätter, die Schülerinnen und Schüler beim Üben unterstützen. lesetexte zur Geschichte der Mathematik oder anderen Themen. Sie fördern die Fähigkeit mathematische Texte zu lesen und geben Anregungen für eine vorwissenschaftliche Arbeit. Fragen zum grundwissen mit ausformulierten Antworten zu jedem Kapitel, die als pdf-Datei zum Download angeboten werden. ti-Nspire kompakt, die analog zu den Technologie kompakt-Seiten für jedes Kapitel Kurzanleitungen für den TI-Nspire bieten. Dieses Symbol verweist auf folgende Zusatzbände: Mathematik verstehen technologietraining geogebra bzw. casio Der Zusatzband Mathematik verstehen grundkompetenztraining bietet weitere Möglichkeiten zum Erwerb und zur Überprüfung der Grundkompetenzen. kompakt seite XXX Ó applet lernapplet arbeitsblatt lesetext: aBc Fragen zum grundwissen ti-Nspire kompakt XXXXXX O Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
3 INhaltsverzeichnis 5. Semester 1 Gleichungen und Polynomfunktionen 6 1.1 Algebraische Gleichungen 6 1.2 Nullstellen von Polynomfunktionen 12 Technologie kompakt 13 Kompetenzcheck 14 2 Grundbegriffe der Differentialrechnung 16 2.1 Differenzenquotient und Differentialquotient 16 2.2 Geometrische Deutungen des Differenzen- und Differentialquotienten 22 2.3 Schreibweisen für den Differenzen- und Differentialquotienten 29 2.4 Ableitungen 32 2.5 Höhere Ableitungen 38 Technologie kompakt 39 Kompetenzcheck 40 3 Untersuchen von Polynomfunktionen 44 3.1 Wiederholung: Monotonie und Extremstellen von Funktionen 44 3.2 Funktionsverlauf und erste Ableitung 48 3.3 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Hilfe der ersten Ableitung 50 3.4 Funktionsverlauf und höhere Ableitungen 53 3.5 Eigenschaften von Polynomfunktionen 59 3.6 Aufsuchen von Polynomfunktionen 62 3.7 Graphen von Funktionen und deren Ableitungsfunktionen 66 3.8 Extremwertaufgaben 72 Technologie kompakt 78 Kompetenzcheck 79 4 Kreis und Kugel 84 4.1 Der Kreis 84 4.2 Kreis und Gerade 88 4.3 Die Kugel 93 Technologie kompakt 95 Kompetenzcheck 96 5 Ellipse, Hyperbel und Parabel 98 5.1 Die Ellipse 98 5.2 Die Hyperbel 105 5.3 Die Parabel 110 5.4 Kegelschnitte 114 Technologie kompakt 115 Kompetenzcheck 116 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 inhaltsverzeichnis 6 Kurven 120 6.1 Kurven in der Ebene 120 6.2 Kurven im Raum 126 Technologie kompakt 127 Kompetenzcheck 128 Semestercheck 1 (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 130 6. Semester 7 Erweiterung der Differentialrechnung 140 7.1 Ableitungen weiterer Funktionen 140 7.2 Weitere Ableitungsregeln 144 7.3 Rationale Funktionen 147 7.4 Ableitung von Verkettungen 149 7.5 Ableitung von Umkehrfunktionen 151 7.6 Berechnung von Änderungsgeschwindigkeiten 153 Kompetenzcheck 155 8 Exaktifizierung der Differentialrechnung 158 8.1 Grenzwertregeln 158 8.2 Stetigkeit 159 8.3 Differenzierbarkeit 161 8.4 Sätze über stetige und differenzierbare Funktionen 162 8.5 Exaktifizierung des Grenzwertbegriffs 164 8.6 Historisches zur Differentialrechnung 168 Kompetenzcheck 172 9 Anwendungen der Differentialrechnung 174 9.1 Anwendungen in der Wirtschaftsmathematik 174 9.2 Anwendungen in den Naturwissenschaften 186 Kompetenzcheck 188 10 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 192 10.1 Einige Wiederholungen aus der beschreibenden Statistik 192 10.2 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 195 10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen 201 Technologie kompakt 205 Kompetenzcheck 206 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 inhaltsverzeichnis 11 Die Binomialverteilung und weitere Verteilungen 210 11.1 Faktorielle (Fakultät) und Binomialkoeffizienten 210 11.2 Die Binomialverteilung 217 11.3 Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 225 Technologie kompakt 228 Kompetenzcheck 229 12 Komplexe Zahlen 232 12.1 Reelle, imaginäre und komplexe Zahlen 232 12.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 234 12.3 Gleichungslösen mit komplexen Zahlen 236 12.4 Geometrische Darstellung komplexer Zahlen 239 12.5 Konstruktion der komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen 240 12.6 Weitere Darstellungen komplexer Zahlen 242 12.7 Historisches zu den Zahlbereichen 245 Technologie kompakt 250 Kompetenzcheck 251 Semestercheck 2 (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 254 Anhang: Beweise 260 Mathematische Zeichen 262 Tabellen 264 Stichwortverzeichnis 267 Namensregister 270 Bildnachweis 271 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 lerNz iele 1 .1 Polynome und algebraische gleichungen vom grad n kennen. Einfache lösungsmethoden für gleichungen vom grad 3 oder 4 kennen. 1 . 2 Wissen, dass eine algebraische gleichung vom grad n höchstens n lösungen und eine Polynomfunktion vom grad n höchstens n Nullstellen haben kann. technologie kompakt Kompetenzcheck grUNDkoMpeteNzeN Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: […] Gleichungen, […] Umformungen, Lösbarkeit. Den Zusammenhang zwischen dem grad der Polynomfunktion und der anzahl der Nullstellen […] wissen. 1 .1 algebraische gleichUNgeN Wiederholung: Quadratische gleichungen Eine Gleichung der Form a · x 2+ b · x + c = 0 (mit a, b, c * ℝ und a ≠ 0) heißt quadratische gleichung. Mittels Division durch a lässt sich eine solche Gleichung auf die normierte Form x 2+ px + q = 0 (mit p, q * ℝ) bringen. lösungsformeln: x 2+ px + q = 0 É x = – p _ 2± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q ax 2+ bx + c = 0 É x = –b ± 9_____ b 2– 4ac __ 2a Eine quadratische Gleichung kann genau zwei reelle Zahlen als Lösungen, genau eine reelle Zahl als Lösung oder keine reelle Zahl als Lösung haben. Manche Gleichungen können mit dem folgenden Satz gelöst werden: Produkt-Null-Satz: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. aUFgabeN 1 . 01 Löse die Gleichung in ℝ und mache die Probe! a) x 2+ 12x + 36 = 0 b) x 2 – 9 _ 2x = – 5 c) 4x 2– 9x – 9 = 0 d) 70x 2+ 11x = 3 1 . 02 Löse die Gleichung in ℝ unter verwendung des Produkt-Null-Satzes! a) 2 x – 1 _ 2 3 2 x + 5 _ 6 3= 0 c) 5 · 2 2x + 3 _ 4 3(x – 5) = 0 e) 2 x + 1 _ 4 3 2 x – 1 _ 3 3 2 x + 1 _ 2 3= 0 b) (x – 0,3) · (x – 0,7) = 0 d) x · (x – 5) 2= 0 f) (x – 1)(x 2– x – 6) = 0 ag-R 1 . 2 Fa-R 4 . 4 R R 1 GleIChungen und POlynOmfunKTIOnen Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
7 1 .1 algeBraische GleichUNgeN algebraische Gleichungen vom Grad n Definition (1) Ein Ausdruck der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * ℝ und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) E ine Gleichung der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0= 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * ℝ und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. Für algebraische Gleichungen vom Grad 2 kennen wir Lösungsformeln, für algebraische Gleichungen mit höherem Grad jedoch nicht. Im Folgenden besprechen wir einige Methoden, die zum Lösen solcher Gleichungen nützlich sein können. Lösen von Gleichungen durch anwenden binomischer Formeln Wir wiederholen zunächst die binomischen Formeln: (1) (a + b) 2= a 2+ 2ab + b 2 (2) (a – b) 2= a 2– 2ab + b 2 (3) (a + b) · (a – b) = a 2– b 2 1 . 03 Löse die Gleichung a) x 2+ 8x + 16 = 0, b) x 2– 6x + 9 = 0, c) x 4– 81 = 0 in ℝ! LösUNg: a) Nach der Formel (1) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x + 4) 2= 0 Diese Gleichung hat nur die reelle Lösung –4. Die Lösungsmenge lautet: L = {–4}. b) Nach der Formel (2) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x – 3) 2= 0 Diese Gleichung hat nur die reelle Lösung 3. Die Lösungsmenge lautet: L = {3}. c) Nach der Formel (3) lässt sich die Gleichung so anschreiben: (x 2+ 9)(x 2– 9) = 0 Nach dem Produkt-Null-Satz folgt: x 2+ 9 = 0 = x 2– 9 = 0 Die erste dieser beiden Gleichungen hat keine reelle Lösung, die zweite hat die reellen Lösungen 3 und –3. Die Lösungsmenge lautet: L = {–3, 3}. aUfgaBeN 1 . 04 Löse die Gleichung in ℝ mit Hilfe einer binomischen Formel! a) x 4– 625 = 0 b) x 4= 81 c) x 2– 2x + 1 = 0 d) x 2+ 12x + 36 = 0 Lösen von Gleichungen durch Herausheben 1 . 05 Löse die Gleichung a) x 3 – 4x 2– 5x = 0, b) x 2(x 2– 2x + 1) = 2 (x 2– 2x + 1) in ℝ! LösUNg: a) x 3 – 4x 2– 5x = 0 b) x 2(x 2– 2x + 1) – 2 (x 2– 2x + 1) = 0 Wir heben x heraus: Wir heben (x 2– 2x + 1) heraus: x · (x 2– 4x – 5) = 0 (x 2– 2) (x 2– 2x + 1) = 0 Nach dem Produkt-Null-Satz gilt: Nach dem Produkt-Null-Satz gilt: x = 0 = x 2– 4x – 5 = 0 x 2– 2 = 0 = x 2– 2x + 1 = 0 x = 0 = x = –1 = x = 5 x = 9_ 2 = x = – 9_ 2 = x = 1 L = {–1, 0, 5} L = {– 9_ 2, 1, 9_ 2} R R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
8 1 gleichUNgeN UND PolyNoMFUNkt ioNeN 1 . 06 (Fortsetzung von 1.05a) Jemand löst die Gleichung x 3 – 4x 2– 5x = 0 so: x3 – 4x2 – 5x = 0 | : x x2 – 4x – 5 = 0 x = –1 = x = 5 Die Lösung x = 0 ist verlorengegangen. Wo liegt der Fehler? lösUNg: Durch x darf man nur dividieren, wenn x ≠ 0 ist. Es wurde also stillschweigend x ≠ 0 vorausgesetzt und dabei übersehen, dass x = 0 eine Lösung der Gleichung ist. Beachte Wenn man in einer Gleichung durch eine Unbekannte dividiert, können Lösungen verloren gehen. aUFgabeN 1 . 07 Löse die Gleichung in ℝ durch Herausheben! a) x 3 + 2x 2– 3x = 0 c) x 3 – 4x 2– 5x = 0 e) 1 _ 20· (x 4 – 14x 3 + 45x 2) = 0 b) x 3 – 6x 2+ 8x = 0 d) – 1 _ 4x 4+ x 3= 0 f) 1 _ 8 x 4 + 1 _ 2 x 3= 0 1 . 08 Löse die Gleichung in ℝ durch Herausheben! a) x2 (x + 3) – (x + 3) = 0 d) 4(x2 + 1)(x2 – 1) – 17(x2 – 1) = 0 b) x2 (x – 3) = 2x(x – 3) e) x3 – 5x2 + (x – 5)2 = 3x(5 – x) c) (x2 – 7x)(x2 – 3) = –6(x2 – 3) f) 5x(x2 + 4x + 3) = (x2 + 4)(x2 + 4x + 3) lösen von gleichungen durch Substitution 1 . 09 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung a) x 4– x 2– 2 = 0, b) x 6 – 9x 3+ 8 = 0! lösUNg: a) Substitution: Wir setzen x 2= u. b) Substitution: Wir setzen x 3= u. u 2– u – 2 = 0 u 2– 9u + 8 = 0 u = –1 = u = 2 (Rechne nach!) u = 1 = u = 8 (Rechne nach!) Rücksubstition: Wir setzen u = x 2. Rücksubstition: Wir setzen u = x 3. x 2= –1 = x 2= 2 x 3= 1 = x 3= 8 Die Gleichung x 2= –1 hat keine Die Gleichung x 3= 1 hat die Lösung 1, Lösung in ℝ, die Gleichung x 2= 2 die Gleichung x 3= 8 hat die Lösung 2. hat die Lösungen x = 9_ 2und x = – 9_ 2. L = {1, 2} L = { – 9_ 2, 9_ 2 } BeMerkUNg: Eine Gleichung der Form a · x 4+ b · x 2+ c = 0 mit a ≠ 0 bezeichnet man als biquadratische gleichung. aUFgabeN 1 .10 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution! a) x4 – 5x2 + 6 = 0 c) 4x4 + 3x2 – 1 = 0 e) x6 – 4x3 + 3 = 0 b) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 d) x4 – 13x2 + 36 = 0 f) 8x6 + 215x3 – 27 = 0 1 .11 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung durch Substitution! a) (x + 1) 4+ (x + 1) 2– 20 = 0 b) (x – 2) 4– 2(x – 2) 2– 8 = 0 R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 1 .1 algebraische gleichUNgeN lösen von gleichungen durch abspalten von linearfaktoren Die binomische Formel a 2– b 2= (a – b)(a + b) lässt sich wie folgt zu einer Regel verallgemeinern, die auf den Mathematiker William george Horner (1786–1837) zurückgeht. Satz (Regel von Horner) Für alle a, b * R und alle n * N* gilt: an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2 · b1 + … + a1 · bn – 2 + bn – 1) Beweis : (a – b )(an – 1 + an – 2 · b + … + a · bn – 2 + bn – 1) = = an + an – 1 · b + an – 2 · b2 + … + a2 · bn – 2 + a · bn – 1 – – an – 1 · b – an – 2 · b2 – … – a2 · bn – 2 – a · bn – 1 – bn = an – bn 1 .12 Man sieht sofort, dass die Gleichung x 3– 8 = 0 die Lösung x = 2 hat. Aber gibt es möglicherweise noch weitere Lösungen? Zeige mit der Regel von Horner, dass dies nicht der Fall ist! lösUNg: Mit Hilfe der Regel von Horner lässt sich die Gleichung so schreiben: x 3 – 8 = x 3– 2 3= (x – 2)(x 2+ x · 2 + 2 2) = (x – 2)(x 2+ 2x + 4) = 0 x – 2 = 0 = x 2+ 2x + 4 = 0 Die erste Gleichung hat die Lösung x = 2. Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Diskriminante negativ ist. Somit ist 2 die einzige Lösung der gegebenen Gleichung. 1 .13 Zeige, dass 1 eine Lösung der Gleichung x3 + 2x2 – 13x + 10 = 0 ist, und ermittle alle Lösungen dieser Gleichung! lösUNg: Es gilt 13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10 = 0. Somit ist 1 eine Lösung der Gleichung. Um die weiteren Lösungen zu ermitteln, zerlegen wir das Polynom f(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10. Dies kann man auf zwei Arten durchführen: 1. Art (mit der Regel von Horner): Wegen f(1) = 0 können wir schreiben: f(x) = f(x) – f(1) = x3 + 2x2 – 13x + 10 – (13 + 2 · 12 – 13 · 1 + 10) = = (x3 – 13) + 2 · (x2 – 12) – 13 · (x – 1) = = (x – 1)(x2 + x + 1) + 2 · (x – 1)(x + 1) – 13 · (x – 1) = = (x – 1) · [(x2 + x + 1) + 2 · (x + 1) – 13] = (x – 1) · (x2 + 3x – 10) 2. Art (mittels Polynomdivision): (x3 + 2x2 – 13x + 10) : (x – 1) = x2 + 3x – 10 (+) – x3 (–) + x2 3x2 – 13x (+) – 3x2 (–) + 3x –10x + 10 (–) + 10x (+) – 10 0 Wir erhalten (Probe zur Division): f(x) = (x – 1) · (x2 + 3x – 10) In beiden Fällen kann die gegebene Gleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x2 + 3x – 10) = 0 x = 1 = x = 2 = x = – 5 (Rechne nach!) R Regel von Horner Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1 gleichUNgeN UND PolyNoMFUNkt ioNeN Mit Hilfe der Regel von Horner kann man den folgenden Satz beweisen: Satz Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und x 0eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – x 0 ) · g(x) für alle x * ℝ, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Beweis : f(x) = a n x n+ a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 Wegen f(x 0) = 0 gilt: f(x) = f(x) – f(x 0) = a nx n+ a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0– (a nx 0 n+ a n – 1 x 0 n – 1 + … + a 1 x 0+ a 0) = = a n( x n– x 0 n) + a n – 1(x n – 1– x 0 n – 1) + … + a 1(x – x 0) Auf jede Klammer in diesem Ausdruck wenden wir die Regel von Horner an: f(x) = a n(x – x 0)(x n – 1 + …) + a n – 1(x – x 0)(x n – 2 + …) + … + a 1(x – x 0) = = (x – x 0)(a nx n – 1 + …) + (x – x 0)(a n – 1 x n – 2 + …) + … + a 1(x – x 0) = = (x – x 0)(a nx n – 1 + …) = (x – x 0) · g(x) Wegen a n≠ 0 ist g(x) ein Polynom vom Grad n – 1. Definition Den Faktor x – x 0im obigen Satz bezeichnet man als linearfaktor zur Lösung x 0 , die Zerlegung f(x) = (x – x 0) · g(x) als abspalten des linearfaktors x – x 0. Durch das Abspalten eines Linearfaktors kann das Lösen einer Gleichung vom Grad n auf das Lösen einer Gleichung vom Grad n – 1 zurückgeführt werden. Allerdings setzt dies voraus, dass man eine Lösung x 0der gegebenen Gleichung kennt. Eine solche kann man manchmal durch Probieren finden. aUFgabeN 1 .14 Zeige mit Hilfe der Regel von Horner, dass die folgende Gleichung nur eine Lösung in ℝ besitzt! a) x 3– 27 = 0 b) x 3– 64 = 0 c) x 3– 343 = 0 1 .15 Ermittle alle reellen Lösungen der folgenden Gleichung! a) x(x 3– 125) = 0 b) x 2(x 2+ 1) = 0 c) x 4– 1 = 0 d) (x 2– 1)(x 6– 64) = 0 1 .16 Zeige, dass x 0eine Lösung der gegebenen Gleichung ist, und ermittle alle weiteren reellen Lösungen dieser Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 – 7x + 6 = 0, x 0 = 1 e) x 3 + 2x2 – 23x – 60 = 0, x 0 = – 3 b) x3 + 2x2 – x – 2 = 0, x 0 = 1 f) x 3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, x 0 = 3 c) x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0, x 0 = 2 g) x 3 – 3x2 – 6x + 8 = 0, x 0 = 4 d) 4x3 + 4x2 – 7x + 2 = 0, x 0 = – 2 h) 2x 3 + 9x2 + 5x + 4 = 0, x 0 = – 4 1 .17 Finde eine Lösung x 0der folgenden Gleichung durch Probieren und ermittle anschließend alle weiteren reellen Lösungen der Gleichung durch Abspalten von x – x 0! a) x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 e) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0 b) x3 – x2 – 10x – 8 = 0 f) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 = 0 c) 4x3 – 3x – 1 = 0 g) 2x4 – 8x3 + 9x2 – 4x + 4 = 0 d) 2x3 – x2 – 13x – 6 = 0 h) 3x4 + 11x3 + 4x2 – 20x – 16 = 0 kompakt Seite 13 R kompakt Seite 13 Nur zu Prüfzwec en – Eigentum es Verlags öbv
11 1 .1 algebraische gleichUNgeN anzahl der lösungen einer gleichung vom grad n Hat eine algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen x 1 , x 2 , …, x k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – x 1) · (x – x 2) ·…· (x – x k) · g(x) Da f(x) vom Grad n ist, kann man aber höchstens n Linearfaktoren abspalten. Daraus ergibt sich unmittelbar der folgende Satz: Satz Eine gleichung vom grad n besitzt höchstens n reelle lösungen. Beachte : Eine Gleichung vom Grad n kann durchaus weniger als n reelle Lösungen haben. Zum Beispiel kann die Gleichung x 3 – 3x 2+ 3x – 1 = 0 in der Form 2 x – 1 3 3= 0 geschrieben werden, woraus man erkennt: Die Gleichung ist vom Grad 3, hat aber nur eine reelle Lösung, nämlich 1. aUFgabeN 1 .18 Gegeben ist eine algebraische Gleichung vom Grad 4. Kreuze die möglichen Fälle an! 1 .19 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 3 an, die 1) genau eine, 2) genau zwei, 3) genau drei reelle Lösungen hat! lösUNg zU 1): Zum Beispiel hat die Gleichung (x + 2) 3= 0 bzw. x 3 + 6x 2+ 12x + 8 = 0 nur die Lösung x = – 2. 1 . 20 Gib ein Beispiel einer Gleichung vom Grad 4 an, die 1) genau eine, 2) genau zwei, 3) genau drei, 4) genau vier reelle Lösungen hat! Faktorisieren von Polynomen Polynome lassen sich in Faktoren zerlegen. Beispiel 1 : f 1(x) = x 3 – 2x 2– 5x + 6 = (x + 2) · (x – 1) · (x – 3) Beispiel 2 : f 2(x) = x 3 – 5x 2+ 8x – 4 = (x – 1) · (x – 2) 2= (x – 1) · (x – 2) · (x – 2) Beispiel 3 : f 3(x) = x 3– x 2+ 4x – 4 = (x – 1) · (x 2+ 4) Nach dem Produkt-Null-Satz erkennt man daraus: Die Gleichung f 1(x) = 0 hat die Lösungen –2, 1 und 3. Die Gleichung f 2(x) = 0 hat nur die Lösungen 1 und 2, obwohl der Faktor (x – 2) zweimal auftritt. Man bezeichnet die Lösung 2 daher auch als „Doppellösung“. Die Gleichung f 3(x) = 0 hat nur die Lösung 1, weil sich der quadratische Faktor (x 2+ 4) in R nicht weiter in Linearfaktoren zerlegen lässt. R R Die Gleichung hat keine Lösung. Die Gleichung hat genau eine Lösung. Die Gleichung hat genau drei Lösungen. Die Gleichung hat mehr als vier Lösungen. Die Gleichung hat mehr als zwei Lösungen. R kompakt Seite 13 Ó arbeitsblatt 9ps5tk Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 1 gleichUNgeN UND PolyNoMFUNkt ioNeN 1 . 2 NUllstelleN voN PolyNoMFUNktioNeN Wir wiederholen (siehe Mathematik verstehen 6, Seite 52): Definition Eine reelle Funktion f mit f(x) = an x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom grad n. Häufig sind jene Stellen von Interesse, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Definition Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle x 0 * A heißt Nullstelle von f, wenn f(x 0) = 0 ist. Beachte x 0ist Nullstelle von f É x 0ist lösung der gleichung f(x) = 0 Eine Nullstelle x 0 ist vom Punkt (x 0 1 0) zu unterscheiden. Da eine Gleichung vom Grad n höchstens n Lösungen haben kann, kann eine Polynomfunktion vom Grad n höchstens n Nullstellen besitzen. Wir halten dies fest: Satz Eine Polynomfunktion vom grad n hat höchstens n Nullstellen. Eine Polynomfunktion f vom Grad n kann aber durchaus weniger als n Nullstellen besitzen, wenn die algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n weniger als n Lösungen hat. Ist x 0eine „Doppellösung“ der Gleichung f(x) = 0, dann bezeichnet man die dazugehörige Nullstelle von f manchmal als „Doppelnullstelle“. Beispiel : f(x) = 0,25 · (x 2– 4x + c) mit c * ℝ Für c = 3 ist f(x) = 0,25 · (x 2– 4x + 3) = 0,25 · (x – 1)(x – 3) (roter Graph) Für c = 4 ist f(x) = 0,25 · (x – 2) 2 (blauer Graph) Wird der rote Graph in Richtung der zweiten Achse nach oben verschoben, kommen die beiden Nullstellen einander immer näher, bis sie schließlich zusammenfallen und eine „Doppelnullstelle“ bilden. Man erkennt eine Doppelnullstelle also daran, dass der Graph von f die erste Achse an der betreffenden Stelle berührt. aUFgabeN 1 . 21 Nebenstehend ist ein Ausschnitt einer Polynomfunktion f vom Grad 6 dargestellt. Entnimm dem Graphen alle Nullstellen von f und begründe, dass keine weiteren Nullstellen von f existieren! 1 . 22 Ermittle alle Nullstellen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! a) f(x) = (x – 3) 2 c) f(x) = x 4 – 2x 2+ 1 b) f(x) = x 3– x d) f(x) = x 4+ x 3 – 6x 2 1 . 23 Faktorisiere das Polynom f(x) und ermittle daraus die Lösungen der Gleichung f(x) = 0! a) f(x) = x 3 + 2x 2– x – 2 c) f(x) = x 3+ x 2+ x + 1 b) f(x) = 2x 3 – 5x 2+ 4x – 1 d) f(x) = x 4 – 2x 3 – 3x 2+ 4x + 4 x f(x) 1 2 3 4 1 2 0 R x f(x) f 1 2 3 – 2 – 1 1 – 2 – 1 0 kompakt Seite 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 techNologie koMpakt r O Für konkrete anleitungen siehe technologietrainingshefte TECHNOLOGIE KOMPAKT geogebra CaSIO Class PaD I I algebraische gleichung vom grad n lösen CAS-Ansicht: Eingabe: Löse(Gleichung) – Werkzeug Ausgabe ¥ Liste der Lösung(en) BeMerkUNg: Gleichungen höheren Grades (n > 4) lassen sich auf diese Weise nicht immer lösen! Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Weiterführend – solve(Gleichung) E Ausgabe ¥ Liste der Lösung(en) linearfaktor(en) eines Polynoms abspalten CAS-Ansicht: Eingabe: Faktorisiere(Polynom) – Werkzeug Ausgabe ¥ Termdarstellung mit abgespaltenen Linearfaktoren Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Umformungen – faktoris – factor(Polynom) E Ausgabe ¥ Termdarstellung mit abgespaltenen Linearfaktoren Nullstelle(n) einer Polynomfunktion bestimmen CAS-Ansicht: Eingabe: Nullstelle(Funktionsterm) – Werkzeug Ausgabe ¥ Liste der reellen Nullstellen der Polynomfunktion oder Algebra-Ansicht: Eingabe: Nullstelle(Funktionsterm) ENTER Ausgabe ¥ Liste von Punkten (x 0 , 0), wobei x 0Nullstelle der Polynomfunktion Grafik-Ansicht: Ausgabe ¥ Punkte (x 0 , 0), wobei x 0Nullstelle der Polynomfunktion Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Weiterführend – solve(Funktionsterm, Variable) E Ausgabe ¥ Liste der reellen Nullstellen der Polynomfunktion oder Iconleiste – Menu – Grafik&Tabelle Eingabe: Funktionsterm E Symbolleiste – $ Menüleiste – Analyse – Grafische Lösung – Nullstelle E Ausgabe ¥ Punkt (x 0 ,0), wobei x 0Nullstelle der Polynomfunktion HINWEIS : Cursortaste rechts für weitere Nullstellen HINWEIS : Nullstellen müssen vor der Analyse auf dem Bildschirm sichtbar sein. aUFgabeN t 1 . 01 Löse die Gleichung x2 + 12x + 36 = 0 a) mit Hilfe einer binomischen Formel, b) mit Technologieeinsatz! t 1 . 02 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung (x + 1)4 + (x + 1)2 – 20 = 0! t 1 . 03 Gegeben sei das Polynom f mit f(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10. Bestimme die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 durch Abspalten möglichst vieler Linearfaktoren mit Technologieeinsatz! t 1 . 04 Ermittle alle Nullstellen der Polynomfunktion f mit f(x) = x4 + x3 – 6x2 ! Hat diese Funktion eine Doppelnullstelle? Zeichne den Funktionsgraphen von f sowie die zu den Nullstellen gehörigen Punkte (x0 , 0) in ein Koordinatensystem. Wenn es eine Doppelnullstelle gibt, wo ist diese? Ó tI-Nspire kompakt s8rt9h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 r KoMpeteNzcheck KOmpeTenzCheCK aUFgaBEN VOM tYP 1 1 . 24 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung! a) (x – 100)(x – 200)(x + 200) = 0 b) x(x 4– 625) = 0 1 . 25 Zerlege die Terme in Linearfaktoren! a) (x – 2)(x 2– 9) b) x 3+ x 2– 10x + 8 1 . 26 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung! a) x 4– x 3– x + 1 = 0 b) ( x 2– 9)(x 3– 27) = 0 1 . 27 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung! a) x 3 + 5x 2+ 6x = 0 b) x 4 – 7x 3+ x 2+ 63x – 90 = 0 1 . 28 Ermittle alle reellen Lösungen der Gleichung x 3 – 1 _ a 6 = 0 (mit a ≠ 0 )! 1 . 29 Ordne jeder Gleichung in der linken Tabelle die Anzahl der reellen Lösungen aus der rechten Tabelle zu! 1 . 30 Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Jede algebraische Gleichung vom Grad n besitzt n reelle Lösungen. Jede algebraische Gleichung vom Grad n besitzt weniger als n reelle Lösungen. Jede algebraische Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. Eine algebraische Gleichung vom Grad n muss keine reelle Lösung besitzen. Eine algebraische Gleichung vom Grad n kann unendlich viele Lösungen besitzen. 1 . 31 Nebenstehend ist eine Polynomfunktion f vom Grad 3 gezeichnet. Die Polynomfunktionen f 1 , f 2 , f 3und f 4sind definiert durch: f 1(x) = f(x) – 1 f 2(x) = f(x) – 2 f 3(x) = f(x) – 3 f 4(x) = – f(x) Gib an, wie viele Nullstellen diese Funktionen jeweils besitzen! 1 . 32 Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion vom Grad 4 haben? Skizziere für jede mögliche Anzahl von Nullstellen einen dazugehörigen Graphen! Ó Fragen zum grundwissen 72wt7q ag-R 1 . 2 ag-R 1 . 2 ag-R 1 . 2 ag-R 1 . 2 ag-R 1 . 2 x 2· (x 2– 4) = 0 A 1 (x – 64) 2= 0 B 2 x 3 – 3x 2= 0 C 3 ag-R 1 . 2 ag-R 1 . 2 x f(x) 1 2 3 4 – 2 – 1 1 2 – 2 – 1 0 f Fa-R 4 . 4 Fa-R 4 . 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 KoMpeteNzcheck aUFgaBEN VOM tYP 2 1 . 33 gleichungen höheren grades a) Aus gleichartigen Würfeln werden Pyramiden in mehreren Schichten wie in nebenstehender Abbildung gebaut. Um eine aus n Schichten bestehende Pyramide zu erhalten, benötigt man insgesamt n(n + 1)(2n + 1) ___ 6 Würfel. Überprüfe dies für eine aus vier Schichten bestehende Pyramide! Berechne, wie viele Schichten man mit 140 Würfeln erhält! b) Mit gleichartigen Würfeln soll eine Stiege wie in nebenstehender Abbildung gebaut werden. Um eine solche Stiege mit n Stufen zu erhalten, sind insgesamt n · (n + 1) __ 2 Würfel notwendig. Überprüfe dies für eine Stiege dieser Art mit 5 Stufen! Begründe, dass es nicht möglich ist, eine solche Stiege mit 130 Würfeln zu bauen! c) Füllt man ein würfelförmiges Gefäß bis 1 dm unter der Oberkante mit Wasser, enthält es 100 Liter. Berechne die Kantenlänge des Gefäßes! Für ein quaderförmiges Gefäß ist die Breite um 3dm größer als die Höhe und die Länge um 3dm größer als die Breite. In das Gefäß passen genau 80 Liter Wasser hinein. Berechne die Höhe des Gefäßes! 1 . 34 Nullstellen von Polynomfunktionen a) Stelle das Polynom f(x) = x 3 + 3x 2– 5x + 1 in der Form f(x) = (x – 1) · g(x) mit einem Polynom g(x) dar! Lässt sich auch das Polynom h(x) = x 3 – 3x 2– 5x + 1 in dieser Form darstellen? Überprüfe mit Technologieeinsatz und begründe die Antwort! b) Zerlege das Polynom f(x) = x 3 – 6x 2+ 11x – 6 in Linearfaktoren und gib alle reellen Lösungen der Gleichung f(x) = 0 an! Gib ein Polynom f(x) vom Grad 3 an, das den Linearfaktor (x + 2) enthält und die Lösungen – 3 und 1 besitzt! c) Gib eine Polynomfunktion vom Grad 3 mit genau drei Nullstellen an, von denen eine negativ und die anderen beiden positiv sind! Gib eine Polynomfunktion vom Grad 4 mit genau zwei Nullstellen an, die beide negativ sind! d) Gib eine Polynomfunktion vom Grad 5 an, die nur die Nullstelle 0 und zwei weitere von 0 verschiedene Nullstellen besitzt! Gib eine Polynomfunktion vom Grad 6 an, die keine Nullstelle besitzt! ag-R 1 . 2 Fa-R 4 . 4 ag-R 1 . 2 Fa-R 4 . 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 2 GRUNDBEgRIFFE DER DIFFERENTIALREChNUNg lerNz iele 2 .1 Den Differenzenquotienten (die mittlere Änderungsrate) und den Differentialquotienten (die Änderungsrate) kennen und interpretieren können. 2 . 2 Den Differenzen- und Differentialquotienten geometrisch deuten können. 2 . 3 Die leibniz’sche schreibweise für den Differenzen- und Differentialquotienten kennen. 2 . 4 ableitungsregeln für Polynomfunktionen kennen und anwenden können. 2 . 5 höhere ableitungen kennen und anwenden können. technologie kompakt Kompetenzcheck grUNDKoMPeteNzeN Den zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können. Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. einfache regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, […]. 2 .1 DiFFerenzenQuotient und DiFFerentialQuotient geschwindigkeit 2 . 01 Beim Bungee-Jumping befindet sich der Springer im freien Fall, wenn man vom Luftwiderstand absieht. Für den Weg s(t), den ein Körper beim freien Fall im Zeitintervall [0; t] zurücklegt, gilt näherungsweise s(t) = 5t2 (t in Sekunden, s in Meter). 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [1; 4]! 2) Gib eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [t; z] an! 3) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3? lösung: 1) Wir bezeichnen die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [t1 ; t2 ] mit _ v(t 1 ; t2). _ v(1; 4) = zurückgelegter Weg ___ benötigte Zeit = s(4) – s(1) __ 4 – 1 = 5 · 42 – 5 · 12 __ 3 = 25 (m/s) Der Springer legt in den einzelnen Sekunden nicht den gleichen Weg zurück. (Am Anfang legt er in einer Sekunde etwas weniger, gegen Ende in einer Sekunde etwas mehr zurück.) lm Mittel (!) legt er jedoch 25m pro Sekunde zurück. aN-r 1 . 2 aN-r 1 . 3 aN-r 2 .1 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 2 .1 Di FFerenzenQuot ient und Di FFerent ialQuot ient 2) _ v(t; z) = s(z) – s(t) __ z – t = 5 · z2 – 5 · t2 __ z – t = 5 · (z2 – t2) __ z – t = 5 · (z – t)(z + t) ___ z – t = 5 · (z + t) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 3) Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3 mit v(3). Was soll man darunter überhaupt verstehen? Es liegt nahe, die mittleren Geschwindigkeiten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen [3; z] zu ermitteln, dh. z immer näher bei 3 zu wählen, wodurch man eine immer bessere Näherung für die gesuchte Geschwindigkeit v(3) erhält. Nach 2) gilt für t = 3: _ v(3; z) = 5 · (z + 3) für z ≠ 3 In der nebenstehenden Tabelle wurde _ v(3; z) für verschiedene, immer näher bei 3 liegende Werte von z berechnet. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 kann man als „grenzwert“ [lat.: Limes] dieser mittleren Geschwindigkeiten auffassen, wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert (dh. in beliebige Nähe von 3 kommt). Dies schreibt man kurz so an: v(3) = lim z ¥ 3 _ v(3; z) [ Lies: v(3) ist der Limes von _ v(3; z) für z gegen 3.] Aufgrund der Tabelle vermuten wir: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 3, dann nähert sich _ v(3; z) unbegrenzt der Zahl 30. Also: v(3) = lim z ¥ 3 _ v(3; z) = 30m/s Hätten wir in der letzten Aufgabe die Geschwindigkeit v(3) nicht einfacher erhalten können? Wir hätten ja einfach in der Formel _ v(3; z) = 5 · (z + 3) für z die Zahl 3 einsetzen können und damit v(3) = _ v(3; 3) = 5 · (3 + 3) = 30 erhalten. Dieses vorgehen ist streng genommen nicht erlaubt, weil die Formel _ v(3; z) = 5 · (z + 3) nur für z ≠ 3 gilt. Wir können das Ergebnis jedoch rechtfertigen, indem wir folgendermaßen argumentieren: Wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert, dann nähert sich die Zahl z + 3 unbegrenzt der Zahl 3 + 3 = 6 und somit die Zahl 5 · (z + 3) unbegrenzt der Zahl 5 · 6 = 30. Allgemein definiert man: Definition Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), dann setzt man: Mittlere geschwindigkeit im zeitintervall [t 1 ; t 2] = _ v(t 1; t2) = s(t 2) – s(t 1) __ t 2– t 1 geschwindigkeit zum zeitpunkt t = v(t) = lim z ¥ t _ v(t; z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t Bemerkung: v(t) wird auch als Momentangeschwindigkeit zum zeitpunkt t bezeichnet. Beispielsweise gibt ein Tachometer im Auto zu jedem Zeitpunkt die jeweilige Momentangeschwindigkeit an. Zeitintervall [3; z] mittlere Geschwindigkeit _ v(3; z) [3; 4] 35 [3; 3,5] 32,5 [3; 3,1] 30,5 [3; 3,01] 30,05 [3; 3,001] 30,005 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung auFgaben 2 . 02 (Fortsetzung von 2.01) Gib beim Bungee-Jumping eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit _ v(4; z) an und begründe, dass daraus v(4) = 40m/s folgt! 2 . 03 Die Tabelle ist ein Auszug aus dem Fahrplan des Railjet RJ 532. Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Klagenfurt und Bruck an der Mur sowie zwischen Bruck an der Mur und Wien Meidling! In welchem dieser beiden Streckenabschnitte fährt der Zug im Mittel schneller? Änderungsgeschwindigkeit 2 . 04 Aus einem zylindrischen Behälter, in dem sich anfänglich 100 Liter Wasser befinden, fließt Wasser aus. Es sei v(t) das volumen des im Behälter befindlichen Wassers zum Zeitpunkt t. Es gilt annähernd: v(t) = (10 – t) 2 (t in Sekunden, v(t) in Liter) 1) Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter leer? 2) Berechne die Änderung des volumens in den Zeitintervallen [0; 1] und [9; 10]! Was bedeutet das negative vorzeichen? 3) Berechne die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [0; 10]! 4) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [t; z] an! 5) Wir bezeichnen die Änderungsgeschwindigkeit des volumens zum Zeitpunkt t mit v’(t). Gib eine Formel für v’(t) an! 6) Berechne die Änderungsgeschwindigkeit des volumens zum Zeitpunkt 2 bzw. 8! lösung: 1) v(t) = 0 É t = 10. Der Behälter ist zum Zeitpunkt t = 10 Sekunden leer. 2) Änderung des volumens im Zeitintervall [0; 1] = v(1) – v(0) = 9 2– 10 2= –19 (®) Änderung des volumens im Zeitintervall [9; 10] = v(10) – v(9) = 0 2– 1 2= –1 (®) Das negative vorzeichen bedeutet, dass das volumen im jeweiligen Zeitintervall abnimmt. 3) mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [0; 10] = volumsänderung ___ verstrichene Zeit= = v(10) – v(0) __ 10 – 0 = 0 – 100 _ 10 = –10 (®/s) Das volumen nimmt im Mittel (!) um 10 Liter pro Sekunde ab (am Anfang mehr, am Ende weniger, siehe die obige Abbildung). 4) mittlere Änderungsgeschwindigkeit des volumens im Zeitintervall [t; z] = v(z) – v(t) __ z – t = = (10 – z) 2– (10 – t) 2 ___ z – t = (100 – 20z + z 2) – (100 – 20t + t 2) _____ z – t = z 2– t 2– 20(z – t) ___ z – t = (z – t)(z + t) – 20(z – t) ___ z – t = z + t – 20 (®/s) Diese Formel gilt nur für z ≠ t, weil sonst die Nenner der Brüche gleich 0 wären. 5) Unter v’(t) versteht man naheliegenderweise den Grenzwert der mittleren Änderungsgeschwindigkeiten des volumens für immer kleiner werdende Zeitintervalle [t; z]: v’(t) = lim z ¥ t v(z) – v(t) __ z – t = lim z ¥ t (z + t – 20) Für die Berechnung dieses Limes überlegen wir so: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl t, dann nähert sich z + t – 20 unbegrenzt der Zahl t + t – 20 = 2t – 20. Also gilt: v’(t) = 2t – 20 (®/s) 6) Für t = 2 bzw. t = 8 ergibt sich: v’(2) = –16 (®/s) bzw. v’(8) = – 4 (®/s) R Ó lernapplet e49vp9 Bahnhof an ab km Klagenfurt Bruck a. d. Mur Wien Meidling 9:44 11:28 7:39 9:46 0 174 330 R t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 2 .1 Di FFerenzenQuot ient und Di FFerent ialQuot ient Bemerkung: Der Begriff der Änderungsgeschwindigkeit ist eine verallgemeinerung des gewöhnlichen Geschwindigkeitsbegriffs. Man kann ihn nicht nur auf den Ort s(t), sondern auf beliebige zeitabhängige Größen anwenden (zB. volumen v(t), Masse m(t), Temperatur T(t)). Eine positive (mittlere) Änderungsgeschwindigkeit bezeichnet man auch als (mittlere) zunahmegeschwindigkeit. Eine negative (mittlere) Änderungsgeschwindigkeit bezeichnet man auch als (mittlere) abnahmegeschwindigkeit. auFgaben 2 . 05 Die Tabelle gibt für einen bestimmten Ort die Lufttemperatur zu drei verschiedenen Uhrzeiten eines Tages an. 1) Die Temperatur hat in den Zeitintervallen [8; 12] und [12; 14] jeweils um 4° C zugenommen. Kann man deshalb sagen, dass die Temperatur in beiden Zeitintervallen gleich schnell zugenommen hat? Begründe die Antwort! 2) In welchem dieser Zeitintervalle hat die Temperatur im Mittel schneller zugenommen? 2 . 06 Die Funktion T: [0; 24] ¥ ℝ ‡ t ¦ T(t) gibt den Temperaturverlauf während eines Tages an (t in Stunden, T(t) in °C). Schreibe an, wie die mittlere Temperaturänderung an diesem Tag und die momentane Temperaturänderung um 11 Uhr definiert sind! Änderungsrate 2 . 07 Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r hat das volumen v(r) = 4 π _ 3 r 3 (r in Dezimeter, v in Kubikdezimeter). Der Ballon wird aufgeblasen. 1) Berechne die Änderung des volumens in den Radiusintervallen [1; 2] und [2; 3]! 2) Berechne die mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [1; 3]! 3) Gib eine Formel für die mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [r; z] an! 4) Gib eine Formel für die Änderungsrate v’(r) des volumens beim Radius r an! 5) Berechne die Änderungsrate des volumens beim Radius 1 bzw. beim Radius 3! lösung: 1) volumsänderung im Radiusintervall [1; 2] = v(2) – v(1) = 4 π _ 3 · 2 3 – 4 π _ 3 · 1 3 = 28 π _ 3 ≈ 29,32 (dm 3) volumsänderung im Radiusintervall [2; 3] = v(3) – v(2) = 4 π _ 3 · 3 3 – 4 π _ 3 · 2 3 = 76 π _ 3 ≈ 79,59 (dm 3) 2) Mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [1; 3] = volumsänderung ___ Radiusänderung= = v(3) – v(1) __ 3 – 1 = 4 π _ 3 · 3 3 – 4 π _ 3 · 1 3 ___ 2 = 4 π _ 3 · 3 3– 1 3 _ 2 = 52 π _ 3 ≈ 54,45 (dm 3/ dm) Das volumen nimmt im Radiusintervall [1; 3] im Mittel (!) für jeden zusätzlichen Dezimeter des Radius um ca. 54,45dm 3zu (am Anfang weniger, gegen Ende mehr). 3) Mittlere Änderungsrate des volumens im Radiusintervall [r; z] = v(z) – v(r) __ z – r = 4 π _ 3 · z 3 – 4 π _ 3 · r 3 __ z – r = = 4 π _ 3 · z 3– r 3 _ z – r = 4 π _ 3 · (z – r) · (z 2 + z · r + r 2) ___ z – r = 4 π _ 3 · (z 2 + z · r + r 2) für z ≠ r 4) Unter der Änderungsrate v’(r) versteht man naheliegenderweise den Grenzwert der mittleren Änderungsrate des volumens für immer kleiner werdende Radiusintervalle [r; z]: v’(r) = lim z ¥ r v(z) – v(r) __ z – r = lim z ¥ r 4 π _ 3 (z 2 + z · r + r 2) R Uhrzeit t Temperatur T(t) in °C 8 9 12 13 14 17 R r z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 2 grundbegri FFe der Di FFerent ialrechnung Nähert sich z unbegrenzt der Zahl r, dann nähert sich 4 π _ 3 · (z 2 + z · r + r 2) unbegrenzt der Zahl 4 π _ 3 · (r 2 + r · r + r 2) = 4 π _ 3 · 3r 2= 4 π r 2. Also gilt: v’(r) = 4 π r 2 (dm 3/ dm) 5) Für r = 1 ergibt sich: v ’(1) = 4 π ≈ 12,57 (dm 3/ dm) Für r = 3 ergibt sich: v’(3) = 36 π ≈ 113,10 (dm 3/ dm) Allgemein definiert man: Definition Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl f(b) – f(a) __ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Der Grenzwert f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x heißt Differentialquotient von f an der stelle x oder Änderungsrate von f an der stelle x. Bemerkung: Der Begriff der Änderungsrate ist eine verallgemeinerung des Begriffs der Änderungsgeschwindigkeit. Man kann ihn nicht nur auf zeitabhängige Größen anwenden, sondern auch auf Größen, die von einer anderen Größe abhängen (zB von einem Radius r). Eine positive (mittlere) Änderungsrate bezeichnet man auch als (mittlere) zunahmerate. Eine negative (mittlere) Änderungsrate bezeichnet man auch als (mittlere) abnahmerate. eine wichtige vorstellung vom Differentialquotienten: Ist z sehr nahe bei x, dann gilt: f ’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x ≈ f(z) – f(x) __ z – x Man kann sich also unter dem Differentialquotienten an der Stelle x einen Differenzenquotienten in einer sehr kleinen Umgebung von x vorstellen. auFgaben 2 . 08 (Fortsetzung von 2.01) Beim Bungee-Jumping haben wir für die Geschwindigkeit nach 3 Sekunden erhalten: v(3) = 30m/s. Ermittle, um wie viel sich diese Geschwindigkeit von der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall [2,985; 3,018] unterscheidet! 2 . 09 Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t). Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ] ist die Änderung des Ortes in [t 1 ; t 2 ]. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist die Änderungsrate von s an der Stelle t. Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ] ist die mittlere Änderungsrate von s in [t 1 ; t 2 ]. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist der Differenzenquotient von s in [t 1 ; t 2 ]. Die mittlere Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ] ist die Änderung der Geschwindigkeit in [t 1 ; t 2 ]. 2 .10 Berechne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall! a) f: x ¦ 3x2, [1; 5] c) f: x ¦ x2 – x, [0; 5] e) f: x ¦ 2 _ x, [– 5; – 2] b) f: x ¦ 2x – 1, [– 2; 4] d) f: x ¦ x3, [2; 8] f) f: x ¦ 1 _ x2 , [10; 20] 2 .11 Gib den Differenzenquotienten der nachstehenden Funktion im angegebenen Intervall an! a) x ¦ f(x), [b; b + h] c) t ¦ N(t), [t0 ; t0 + 1] e) r ¦ u(r), [a – 1; a] b) r ¦ A(r), [r1 ; r2 ] d) z ¦ y(z), [– z0 ; z0 ] f) s ¦ g(s), [0; s0 ] Ó applet 2695np R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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