Mathematik verstehen 6, Schulbuch

99 5 . 5 eigenschaften der sinus- und cosinusfunkt ion 5 . 5 eigenschaften der sinus- und cosinusfunktion Wir zählen im Folgenden einige Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion auf, die man sowohl am Einheitskreis als auch an den Graphen erkennen kann. schranken, Nullstellen, lokale extremstellen und Monotonie satz: Für alle x * ℝ gilt: –1 ª sinx ª 1 und –1 ª cos x ª 1 . satz: (1) sinx = 0 É x = k · π (k * ℤ) (2) cos x = 0 É x = ​ π _ 2 ​+ k · π (k * ℤ ) satz (1) Die Funktion x ¦ sinx besitzt die lokalen Maximumstellen x = ​ π _ 2 ​+ k · 2 π und die lokalen Minimumstellen x = ​ 3 π _ 2 ​+ k · 2 π (mit k * ℤ ). (2) Die Funktion x ¦ cos x besitzt die lokalen Maximumstellen x = k · 2 π und die lokalen Minimumstellen x = π + k · 2 π (mit k * ℤ ). satz (1) Die Funktion x ¦ sinx ist streng monoton steigend in ​ 4 – ​ π _ 2 ​+ k · 2 π ; ​ π _ 2 ​+ k · 2 π 5 ​ und streng monoton fallend in ​ 4 ​ π _ 2 ​+ k · 2 π ; ​ 3 π _ 2 ​+ k · 2 π 5 ​ (mit k * ℤ ). (2) Die Funktion x ¦ cos x ist streng monoton steigend in [ π + k · 2 π ; 2 π + k · 2 π ] und streng monoton fallend in [k · 2 π ; π + k · 2 π ] (mit k * ℤ ). symmetrie satz: Für alle x * R gilt: (1) cos(– x) = cos x (2) sin(– x) = – sinx Die sinusfunktion ist eine ungerade , die cosinusfunktion eine gerade Funktion . R 1. A. 2. A. cos x 1 1 x 0 sin x sin x x 1 0 –1 2 π –2 π π -π cos x x 1 0 –1 2 π π –2 π -π R 1. A. 2. A. cos x cos (–x) 1 1 x –x 0 sin x sin (–x) sin x sin (–x) x –x 1 2. A. sin 1. A. 0 –1 –2 π -π π 2 π cos 1 0 –1 x cos x = cos (–x) –x 2. A. 1. A. –2 π -π 2 π π Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv