Mathematik verstehen 6, Schulbuch

98 5 Winkelfunkt ionen Periodizität der Winkelfunktionen Dass sich die verläufe der Graphen in regelmäßigen Abständen wiederholen, ist die wohl auffallendste Eigenschaft der Winkelfunktionen. Die Funktionswerte der Sinusfunktion stimmen überein, wenn sich die Argumente um ganzzahlige Vielfache von 2 π unterscheiden. Dasselbe gilt für die Cosinusfunktion. Die Funktionswerte der Tangensfunktion stimmen überein, wenn sich die Argumente um ganzzahlige vielfache von π unterscheiden. Es gilt also: sin x = sin(x ± 2 π ) = sin(x ± 4 π ) = sin(x ± 6 π ) = … cos x = cos(x ± 2 π ) = cos(x ± 4 π ) = cos(x ± 6 π ) = … tan x = tan(x ± π ) = tan(x ± 2 π ) = tan(x ± 3 π ) = … Funktionen dieser Art bekommen einen eigenen Namen: Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ heißt periodisch , wenn es eine positive Zahl p gibt, sodass für alle x * A gilt: f(x + p) = f(x). Die Zahl p heißt eine Periode der Funktion f. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode 2 π . Doch sind auch alle Vielfachen n · 2 π (mit n * ℕ *) Perioden dieser Funktionen. Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode π . Doch sind auch alle Vielfachen n · π (mit n * ℕ *) Perioden dieser Funktion. aufgaben 5 .14 Wie lautet die Wertemenge der a) Sinusfunktion, b) Cosinusfunktion, c) Tangensfunktion? 5 .15 Es sei p * ℝ + . Kreuze die beiden Aussagen an, die für alle Funktionen f: ℝ ¥ ℝ gelten! Wenn es ein x * ℝ mit f(x + p) = f(x) gibt, dann ist f periodisch mit der Periode p. c Wenn f(x + p) = f(x) für alle x * ℝ ist, dann ist f periodisch mit der Periode p. c Wenn f(x + p) = f(x) für alle x * ℝ ist, dann ist f periodisch mit der kleinsten Periode p. c Wenn f periodisch mit der Periode p ist, dann ist f auch periodisch mit der Periode 1,5p. c Wenn f periodisch mit der Periode p ist, dann ist f auch periodisch mit der Periode 2p. c 5 .16 Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Die Funktion x ¦ cos x besitzt die Perioden 2 π und 8 π . c Die Funktion x ¦ sinx besitzt die Perioden 2 π und 8 π . c Die Funktion x ¦ tanx besitzt die Perioden 2 π und 8 π c Die Funktion x ¦ e x · sin x ist periodisch. c Die Funktionswerte einer periodischen Funktion besitzen stets eine obere Schranke. c 5 .17 Begründe: Eine streng monoton steigende Funktion kann nicht periodisch sein. 5 .18 Nebenstehend ist eine periodische „Sägezahnfunktion“ f: ℝ ¥ ℝ ausschnittweise dargestellt. a) Wie groß ist die kleinste Periode von f? b) Wie lautet die Wertemenge von f? R R 1 1 – 1 0 x f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv