Mathematik verstehen 6, Schulbuch

96 5 Winkelfunkt ionen 5 . 3 erweiterung von sinus, cosinus und tangens sinus, cosinus und tangens für beliebige Winkelmaße In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit Sinus, Cosinus und Tangens als Funktionen beschäftigen. In diesem Zusammenhang messen wir Winkel ausschließlich im Bogenmaß . Bisher waren sina und cos a nur für Bogenmaße a * [0; 2 π ) definiert. Da Drehwinkelmaße aber auch außerhalb dieses Intervalls liegen können, ist es zweckmäßig, Sinus und Cosinus abermals zu erweitern. Es liegt nahe, den Sinus bzw. Cosinus eines Drehwinkelmaßes a gleich dem Sinus bzw. Cosinus des dazugehörigen Polarwinkelmaßes _ azu setzen. Definition Ist a * ℝ ein Drehwinkelmaß und _ a * [0; 2 π ) das dazugehörige Polarwinkelmaß, so setzt man: sina = sin _ aund cos a = cos _ a Den Tangens können wir für a * R definieren, indem wir tana = sina _ cos a setzen. Wir müssen allerdings diejenigen Werte von a ausnehmen, für die cos a = 0 ist. Definition Für alle a * R mit a ≠ ± π _ 2 , ± 3 π _ 2 , ± 5 π _ 2 , … setzt man: tana = sina _ cos a Die Werte von sina, cos a und tana können mit Technologieeinsatz nach Umstellung auf das Bo- genmaß (RAD) wie gewohnt berechnet werden, auch wenn a außerhalb des Intervalls [0; 2 π ) liegt. Berechnung der kartesischen Koordinaten Ein punktförmiger Körper bewege sich wie in obiger Abbildung auf einer Kreisbahn mit dem Mit- telpunkt O = (0 1 0), beginnend im Punkt P 0 = (r 1 0). Nachdem er sich um einen Winkel mit dem Bogenmaß a gedreht hat, gilt für seine kartesischen Koordinaten: x = r · cos _ a = r · cos a und y = r · sin _ a = r · sina Wir können die kartesischen Koordinaten also für alle a * R auf die gewohnte Weise berechnen: x = r · cos a und y = r · sina aufgaben 5 .11 Berechne mit Technologieeinsatz! a) sin 25 π _ 4 b) cos 35 π _ 2 c) tan 41 π _ 4 d) sin 2 – 5 π _ 2 3 e) cos 2 – 33 π _ 4 3 f) tan 2 – 27 π _ 4 3 5 .12 Gib drei Drehwinkelmaße (Bogenmaße) an, die denselben Sinus haben wie das angegebene Polarwinkelmaß! a) π b) 0,5 π c) π _ 4 d) 0,85 e) π _ 5 f) 1 g) 4,75 5 .13 a) Für welche Werte von a ist tan(2a) nicht definiert? b) Für welche Werte von a ist tan 2 a _ 2 3 nicht definiert? R P P 0 0 r cos a sina a a 1. A. 2. A. R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv