Mathematik verstehen 6, Schulbuch

93 5 .1 �� In der Abbildung gilt aufgrund ähnlicher Dreiecke: s _ r = s’ _ r’ Analoges kann man für die Winkelbögen beweisen: b _ r = b’ _ r’ Für einen vorgegebenen Winkel ist also der Quotient b _ r konstant und unabhängig vom gewählten Radius. Er kann daher als Maß für die Größe des Winkels verwendet werden. Definition Das Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a = b _ r , wobei b die Länge des zum Winkel gehörigen Bogens mit dem Radius r ist. Für r = 1 ist a = b _ 1 = b. Kurz: Bogenmaß = Bogenlänge beim radius 1 Bemerkung: Das Bogenmaß ist als Quotient zweier Längen eine dimensions- lose Zahl. Trotzdem wird es manchmal mit der Bezeichnung Radiant (rad) versehen, um es von anderen Winkelmaßen deutlich zu unterscheiden. Umrechnung zwischen grad- und Bogenmaß Bogenmaß eines gestreckten Winkels (180°): a = b _ r = r π _ r = π Daraus ergeben sich weitere Bogenmaße, zusammengefasst in der nebenstehenden Tabelle! Andere Umrechnungen vom Gradmaß ins Bogenmaß oder umgekehrt erledigt man am besten mittels einer Proportion. Misst ein Winkel g° und ist a das dazugehörige Bogen- maß, so gilt: a _ π = g _ 180 Bei gegebenem g kann daraus a berechnet werden und bei gegebenem a kann daraus g berechnet werden. 5 . 01 a) Rechne das Gradmaß 1° ins Bogenmaß um! b) Rechne das Bogenmaß 1 ins Gradmaß um! lösung: a) a _ π = 1 _ 180 w a = π _ 180 ≈ 0,0175 b) 1 _ π = g _ 180 w g = 180 _ π ≈ 57,2958 Das Gradmaß 1° entspricht also Das Bogenmaß 1 entspricht also ca. 57°. einem Bogenmaß von ca. 0,02. Mit Technologieeinsatz kann man Sinus, Cosinus und Tangens in verschiedenen Maßen be- rechnen. Achte auf die Einstellung: Gradmaß (DEG), Bogenmaß (RAD), Neugradmaß (GRAD). aufgaben 5 . 02 Rechne das Gradmaß ins Bogenmaß um! a) 0,5° b) 2° c) 5° d) 87° e) 105° f) 225° g) 310° h) 350° 5 . 03 Rechne das Bogenmaß ins Gradmaß um! a) 0,05 b) 0,7 c) 1,5 d) 1,25 e) 2,02 f) 3,14 g) 4,76 h) 6,11 5 . 04 Berechne sinund cos für das folgende Bogenmaß! a) 0,03 b) 0,66 c) 1 d) 1,74 e) 2,39 f) 3,04 g) 4,86 h) 6,21 r b r’ b’ s’ s b r a 1 R Ó lernapplet nb8i2x Gradmaß Bogenmaß 0° 0 30° π _ 6 45° π _ 4 60° π _ 3 90° π _ 2 180° π 270° 3 π _ 2 360° 2 π kompakt seite 106 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv