Mathematik verstehen 6, Schulbuch

92 5 WINKELFUNKTIONEN lerNz iele 5 .1 Das Bogenmaß kennen, Gradmaße und Bogenmaße ineinander umrechnen können. 5 . 2 Drehbewegungen, Drehsinn und Drehwinkel- maß kennen. 5 . 3 Die erweiterung von sin(x) und cos(x) für alle x * R kennen und erläutern können. 5 . 4 Die sinus-, cosinus- und tangensfunktion und deren Graphen kennen. 5 . 5 Wichtige eigenschaften der sinus- und cosinusfunktion an den Graphen und am Einheitskreis ablesen können (insbesondere Periodizität ). 5 . 6 allgemeine sinusfunktionen der Form f(x) = a · sin(b · x) kennen und die Zahlen a und b anhand von Schwingungen interpretieren können. 5 . 7 harmonische schwingungen technologie kompakt Kompetenzcheck grUNDKoMPeteNzeN Grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = a · sin(b · x) als allgemeine sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können. Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können. Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können. Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können. Wissen, dass cos(x) = sin 2 x + π _ 2 3 . 5 .1 Das Bogenmass Warum ein weiteres Winkelmaß? Wird ein Winkel im gradmaß gemessen, so teilt man einen vollen Winkel in 360°, einen rechten Winkel somit in 90° ein. In der vermessungskunde ist das Neugradmaß gebräuchlich. Dabei misst ein voller Winkel 400 g [= 400 gon = 400 Neugrad], ein rechter Winkel somit 100 g . Beide Maße beruhen auf zufälligen außermathematischen Gegebenheiten. Das Gradmaß wurde von den Babyloniern eingeführt und hängt vermutlich damit zusammen, dass die Erde bei ihrem Umlauf um die Sonne zufällig ca. 360 Tage braucht. Das Neugradmaß ist durch eine Angleichung an das Zehnersystem entstanden und hängt damit zusammen, dass wir zufällig zehn Finger an unseren händen haben. In der Mathematik wünscht man sich aber ein Winkelmaß, das nicht von zufälligen außermathematischen Gegebenheiten abhängt. Das Auffinden eines solchen Maßes beruht auf der Idee, die Größe eines Winkels durch die Länge b eines zum Winkel gehörigen Winkelbogens anzugeben. Die Länge b hängt jedoch vom gewählten Radius r ab. Fa-r 6 .1 Fa-r 6 . 2 Fa-r 6 . 3 Fa-r 6 . 4 Fa-r 6 . 5 R b r Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Ve lags öbv