Mathematik verstehen 6, Schulbuch

85 4 . 5 Wachstum bei Beschränkung BegrÜndung: 1) Wir dividieren Zähler und Nenner durch a t : N(t) = K · N 0 · a t ___ N 0 · a t + (K – N 0 ) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · 1 _ a t Wir schließen nun so: t wächst w a t wächst (wegen a > 1) w 1 _ a t fällt w (K – N 0 ) · 1 _ a t fällt (wegen K > N 0 ) w w N 0 + (K – N 0 ) · 1 _ a t fällt w 1 ___ N 0 + (K – N 0 ) · 1 _ a t wächst w K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · 1 _ a t wächst 2) Einerseits gilt N 0 = N(0) ª N(t) für alle t * R 0 + , da N streng monoton steigend ist. Andererseits erhalten wir, wenn wir Zähler und Nenner durch N 0 · a t dividieren: N(t) = K · N 0 · a t ___ N 0 · a t + (K – N 0 ) = K __ 1 + K – N 0 _ N 0 · a t < K 3) Wir dividieren Zähler und Nenner durch K: N(t) = K · N 0 · a t ___ N 0 · a t + (K – N 0 ) = N 0 · a t ___ N 0 _ K · a t + 2 1 – N 0 _ K 3 Für K Â N 0 ist N 0 _ K ≈ 0. Wenn außerdem die Werte von t klein sind, ist N 0 _ K · a t ≈ 0 · 1 = 0. Somit gilt: N(t) ≈ N 0 · a t 4) Wir dividieren Zähler und Nenner durch a t : N(t) = K · N 0 · a t ___ N 0 · a t + (K – N 0 ) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · 1 _ a t Für sehr große Werte von t ist 1 _ a t ≈ 0 und somit: N(t) ≈ K · N 0 _ N 0 = K auFgaben 4 . 86 Eine Grippeinfektion in einer Population von 10000 Personen verläuft näherungsweise nach der Formel für kontinuierliches logistisches Wachstum. Dabei ist N(t) die Anzahl der nach t Tagen infizierten Personen. Es sei N(0) = 10 und N(10) = 400. 1) Stelle eine Formel für N(t) auf! 2) Wie viele Personen sind nach 30 Tagen infiziert? 3) Wie viele Personen sind nach 60 Tagen noch nicht infiziert? 4) Wann sind 95% der Population infiziert? 5) versuche zu erklären, warum die Ausbreitung einer Infektion am Anfang annähernd exponen- tiell, später aber mehr und mehr gebremst verläuft! 4 . 87 In einer 200000 Bewohner zählenden Stadt verbreitet ein Stadtbewohner ein Gerücht. Jeder Stadtbewohner, der es erfährt, verbreitet es an andere Stadtbewohner weiter. Wir nehmen an, dass die Anzahl derer, die das Gerücht gehört haben, logistisch mit 15% pro Stunde zunimmt (dh. a = 1,15). 1) Wie viele Menschen haben nach 5h diese Neuigkeit erfahren? 2) Nach welcher Zeit wissen 20% aller Stadtbewohner vom Gerücht? 3) versuche zu erklären, warum sich die Ausbreitung eines Gerüchts mit dem logistischen Wachstum beschreiben lässt! L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv