Mathematik verstehen 6, Schulbuch

84 4 eXponent ial - und logari thmusFunkt ionen Kontinuierliches logistisches Wachstum Ausgehend von ähnlichen Annahmen wie jenen, die zum diskreten Modell geführt haben, kann man mit Mitteln der höheren Mathematik eine auf R 0 + definierte Funktion finden, die die Populationsgröße N(t) zum Zeitpunkt t angibt: N(t) = K · N 0 · a t ___ N 0 · a t + (K – N 0 ) (wobei a > 1, N 0 = N(0) < K und t * R 0 + ) Wird ein Wachstumsprozess durch eine Formel dieser Art beschrieben, spricht man von einem kontinuierlichen logistischen Wachstum . 4 . 85 Im Jahre 1960 gab es ca. 3 · 10 9 Menschen auf der Erde, bis 1977 wuchs die Zahl auf 4,1 · 10 9 . 1) Wie viele Menschen würden im Jahre 2050 auf der Erde leben, wenn man ungebremstes ex- ponentielles Wachstum annimmt? 2) Wie viele Menschen würden im Jahre 2050 auf der Erde leben, wenn man logistisches Wachs- tum zugrunde legt und annimmt, dass auf der Erde höchstens K = 20 · 10 9 Menschen leben können? 3) Zeichne den Graphen der logistischen Wachstumsfunktion N, die jeder Zeit t (Jahre nach 1960) die Bevölkerungszahl der Erde zuordnet! lösung: Es sei t die Anzahl der Jahre nach 1960. 1) N(t) = 3 · 10 9 · a t N(17) = 3 · 10 9 · a 17 w 4,1 · 10 9 = 3 · 10 9 · a 17 w a = 17 9 __ 4,1 _ 3 = 1,0185… (Abspeichern!) Somit gilt: N(90) ≈ 3 · 10 9 · a 90 ≈ 1,57 · 10 10 2) N(t) = K · N 0 · a t ___ N 0 · a t + (K – N 0 ) = = 20 · 10 9 · 3 · 1 0 9 · a t _____ 3 · 10 9 · a t + (20 · 10 9 – 3 · 10 9 ) = = 60 · 10 18 · a t ___ 3 · 10 9 · a t + 17 · 10 9 = 60 · a t __ 3 · a t + 17 · 10 9 N(17) = 60 · a 17 __ 3 · a 17 + 17 · 10 9 = 4,1 · 10 9 w w a = 1,0225… (Abspeichern!) N(90) = 60 · a 90 __ 3 · a 90 + 17 · 10 9 = 1,14 · 10 10 3) Siehe die nebenstehende Abbildung! Die Abbildung in der letzten Aufgabe zeigt wiederum die typische Form des Graphen einer logis- tischen Wachstumsfunktion N. Einige hervorstechende Eigenschaften einer solchen Funktion sind im Folgenden angeführt. 1) Die Funktion N ist streng monoton steigend. 2) Es gilt N 0 ª N(t) < K für alle t * R 0 + . 3) W enn K sehr viel größer als N 0 ist (in Zeichen: K Â N 0 ), verläuft das logistische Wachstum anfänglich annähernd exponentiell. 4) Für sehr große Werte von t gilt: N(t) ≈ K. L 240 2200 140 2100 40 2000 0 1960 t 20·10 9 3·10 9 N(t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv